Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist eine Potenzreihe der Form

$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}$.

Dabei sind ${\tbinom {\alpha }{k}}$ verallgemeinerte Binomialkoeffizienten, die definiert sind durch

${\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}=\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +1-j}{j}}$

mit der fallenden Faktorielle $\alpha ^{\underline {k}}$, wobei für $k=0$ das leere Produkt den Wert 1 zugewiesen bekommt.

Spezialfälle

Ist der Exponent eine natürliche Zahl, so bricht die Reihe nach dem Glied mit $k=\alpha$ ab und ist daher dann nur eine endliche Summe.

Ein Spezialfall der binomischen Reihe ist die Maclaurinsche Reihe der Funktion $f$ mit $f(x)=(1+x)^{\alpha },\;|x|<1,\,\alpha \in \mathbb {C}$:

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\cdot x^{k}$

Geschichte

Vermutlich wurde die Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form $(a+b)^{n}$ bereits von persischen Mathematiker Omar Chayyām (1048–1131) entdeckt. Einige Mathematiker vermuten, dass sie aufgrund seiner Kenntnis der Berechnung von Binomialkoeffizienten auch dem chinesischen Mathematiker Zhu Shijie (1260–1320) bekannt war.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl $\alpha$ und alle reellen $x$ im Intervall $\left]-1,1\right[$ das Binom $(1+x)^{\alpha }$ darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe $\alpha ,x\in \mathbb {C}$. Er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls $\alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$ gilt.

Verhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises

Es sei $|x|=1$ und $\alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$.

• Die Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist ($\operatorname {Re} (\alpha )$ bezeichnet den Realteil von $\alpha$).
• Für alle $x\neq -1$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>-1$ ist.
• Für $x=-1$ konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man $\alpha =-1$ und ersetzt $x$ durch $-x$, so erhält man

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}(-x)^{k}.$

Wegen ${\tbinom {-1}{k}}=(-1)^{k}$ für alle natürlichen Zahlen $k$ lässt sich diese Reihe auch schreiben als $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$. Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

• $(1+x)^{2}={\binom {2}{0}}x^{0}+{\binom {2}{1}}x^{1}+{\binom {2}{2}}x^{2}=1+2x+x^{2}$ (ein Spezialfall der binomischen Formel für das Quadrat einer Summe)
• ${\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}\pm \dotsb$
• ${\sqrt {1+x}}=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}\pm \dotsb$
• ${\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=(1-x)^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+\dotsb$

Literatur

• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.