Binomische Reihe

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Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist  \alpha ganzzahlig und  \alpha\ge 0 , so bricht die Reihe nach dem Glied  k = \alpha ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges  \alpha und für  \alpha<0 liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von (1+x)^\alpha mit Entwicklungspunkt 0.

Geschichte[Bearbeiten]

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form  (a+b)^n kann heute Omar Alchaijama aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl \alpha und alle reellen x im Intervall \left]-1,1\right[ das Binom (1+x)^{\alpha} darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe \alpha, x\in\Bbb C; er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls \alpha\in\Bbb C\setminus\Bbb N gilt.

Verhalten am Rand des Konvergenzkreises[Bearbeiten]

Es sei |x|=1 und \alpha\in\Bbb{C}\setminus\Bbb{N}.

  • Die Reihe \textstyle \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k konvergiert genau dann absolut, wenn \mathrm{Re}(\alpha)>0 oder \alpha=0 ist. [\mathrm{Re}(\alpha) = Realteil von α]
  • Für alle x\neq -1 auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn \mathrm{Re}(\alpha)>-1 ist.
  • Für x=-1 konvergiert die Reihe genau dann, wenn \mathrm{Re}(\alpha)>0 oder \alpha=0 ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe[Bearbeiten]

Setzt man \alpha=-1 und ersetzt x durch -x so erhält man

\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty {-1\choose k} (-x)^k\,.

Da \tbinom{-1}{k}=(-1)^k ist, lässt sich diese Reihe auch schreiben als \textstyle \sum_{k=0}^\infty x^k. Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]