Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

$(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k$

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist $\alpha$ ganzzahlig und $\alpha\ge 0$, so bricht die Reihe nach dem Glied $k = \alpha$ ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges $\alpha$ und für $\alpha<0$ liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von $(1+x)^\alpha$ mit Entwicklungspunkt 0.

Geschichte

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form $(a+b)^n$ kann heute Omar Alchaijama aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl $\alpha$ und alle reellen $x$ im Intervall $\left]-1,1\right[$ das Binom $(1+x)^{\alpha}$ darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe $\alpha, x\in\Bbb C$; er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls $\alpha\in\Bbb C\setminus\Bbb N$ gilt.

Verhalten am Rand des Konvergenzkreises

Es sei $|x|=1$ und $\alpha\in\Bbb{C}\setminus\Bbb{N}$.

• Die Reihe $\textstyle \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k$ konvergiert genau dann absolut wenn $\mathrm{Re}(\alpha)>0$ oder $\alpha=0$ ist. [$\mathrm{Re}(\alpha)$ = Realteil von α]
• Für alle $x\neq -1$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\mathrm{Re}(\alpha)>-1$ ist.
• Für $x=-1$ konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\mathrm{Re}(\alpha)>0$ oder $\alpha=0$ ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man $\alpha=-1$ und ersetzt $x$ durch $-x$ so erhält man

$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty {-1\choose k} (-x)^k\,.$

Da $\tbinom{-1}{k}=(-1)^k$ ist, lässt sich diese Reihe auch schreiben als $\textstyle \sum_{k=0}^\infty x^k$. Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

• $(1+x)^2 = \binom{2}{0} x^0 + \binom{2}{1} x^1 + \binom{2}{2} x^2 = 1 + 2x + x^2$
  (ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)
• $\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \binom{-1}{k} x^k = \sum_{k=0}^\infty (-x)^k$
• $\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} = \sum_{k=0}^\infty \binom{1/2}{k} x^k$

Quellen

• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.