Binomische Reihe

Die binomische Reihe oder Binomialreihe ist eine Potenzreihe der Form

$1+\alpha \,x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)}{4!}}x^{4}+\dotsb \$,

wobei $\alpha \in \mathbb {C}$. Die Koeffizienten dieser Reihe werden verallgemeinerte Binomialkoeffizienten genannt. Mit der Schreibweise

${\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdot \,\cdots \,\cdot (\alpha -k+1)}{k!}},\quad k\in \mathbb {N} ,\quad {\binom {\alpha }{0}}=1$

lässt sich die binomische Reihe kompakt schreiben als

$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}$.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Ist der Exponent $\alpha$ eine natürliche Zahl, so bricht die Reihe nach dem Glied mit $k=\alpha$ ab, da ${\tbinom {\alpha }{k}}=0$ für alle $k>\alpha$ gilt. Somit handelt es sich dann nur um eine endliche Summe und die Reihe entspricht dem binomischenr Lehrsatz:

$\sum _{k=0}^{\alpha }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}\cdot 1^{\alpha -k}=(x+1)^{\alpha }$

Für $|x|<1$ konvergiert die binomische Reihe und entspricht Maclaurinschen Reihe der Funktion $f$ mit $f(x)=(1+x)^{\alpha },\;|x|<1,\,\alpha \in \mathbb {C}$:

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}$

Etwas allgemeiner kann man die folgende Reihe betrachten:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}a^{\alpha -k}$

Diese konvergiert für $|{\tfrac {x}{a}}|<1$ und entspricht dann der Funktion $f(x)=(a+x)^{\alpha }$

Geschichte

Vermutlich wurde die Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form $(a+b)^{n}$ bereits von persischen Mathematiker Omar Chayyām (1048–1131) entdeckt. Einige Mathematiker vermuten, dass sie aufgrund seiner Kenntnis der Berechnung von Binomialkoeffizienten auch dem chinesischen Mathematiker Zhu Shijie (1260–1320) bekannt war.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl $\alpha$ und alle reellen $x$ im Intervall $\left]-1,1\right[$ das Binom $(1+x)^{\alpha }$ darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe $\alpha ,x\in \mathbb {C}$. Er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls $\alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$ gilt.

Verhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises

Es sei $|x|=1$ und $\alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$.

• Die Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist ($\operatorname {Re} (\alpha )$ bezeichnet den Realteil von $\alpha$).
• Für alle $x\neq -1$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>-1$ ist.
• Für $x=-1$ konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist.

Spezialfälle

Geometrische Reihe

Für $\alpha =-1$ erhält man

${\frac {1}{1+x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}\pm \dotsb \,$.

Ersetzt man noch $x$ durch $-x$, so folgt hieraus die bekannte Darstellung der geometrischen Reihe:

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+\dotsb \,$.

Reihenentwicklungen für Wurzeln

Für $\alpha =1/2$ erhält man

${\sqrt {1+x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}\pm \dotsb$

Diese Formel wurde schon von Henry Briggs bei der Berechnung seiner Logarithmen entdeckt.

Reih

• ${\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=(1-x)^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+\dotsb$

Literatur

• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.