„Arithmetische Reihe“ – Versionsunterschied
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Hieraus lassen sich verschiedene geschlossene Formeln für <math>s_n</math> gewinnen: |
Hieraus lassen sich verschiedene geschlossene Formeln für <math>s_n</math> gewinnen:<ref>{{Literatur |Autor=Walter Purkert, Alexander Herzog |Titel=Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler |Auflage=9. |Verlag=Springer Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=2022 |ISBN=978-3-658-36741-1 |Seiten=98}}</ref> |
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* Bei Kenntnis von <math>a_1</math> und <math>d</math> lässt sich <math>s_n</math> berechnen als |
* Bei Kenntnis von <math>a_1</math> und <math>d</math> lässt sich <math>s_n</math> berechnen als |
Version vom 7. Mai 2024, 17:40 Uhr
Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist eine Folge, die durch die Summierung einer arithmetischen Folge entsteht. Arithmetische Reihen sind üblicherweise divergent (außer im Spezialfall einer konstanten Folge). Es interessieren deshalb vor allem die Reihenglieder (d. h. die Partialsummen), die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.
Berechnung
Ist eine (allgemeine) Folge, so ist das -te Glied der zugehörigen Reihe die -te Partialsumme
- .
Speziell bei einer arithmetischen Folge lassen sich die Folgenglieder mithilfe des ersten Folgenglieds und der (konstanten) Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ausdrücken:
- .
Durch Einsetzen in den Summenausdruck erhält man
- .
Hieraus lassen sich verschiedene geschlossene Formeln für gewinnen:[1]
- Bei Kenntnis von und lässt sich berechnen als
- .
- Bei Kenntnis von und lässt sich berechnen als
- .
Die letzte Formel lässt sich besonders leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.
Formal beweisen lassen sich die beiden Formeln mithilfe der Methode der vollständigen Induktion.
Spezielle Summen
Für die Summe der ersten natürlichen Zahlen gilt die Gaußsche Summenformel
und für die Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen gilt
- .
Siehe auch
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Arithmetic Series. In: MathWorld (englisch).
- ↑ Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 98.