Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge oder arithmetische Progression ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Eine einfache arithmetische Folge stellen die ungeraden, natürlichen Zahlen dar: $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11, \ldots$

Berechnung

Es gilt:

$a_{i+1}=a_i +d\$ (rekursive Formel).

Das i-te Glied $a_i$ einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied $a_0$ und der Differenz d berechnet sich aus

$a_i = a_0 + i\cdot d$ (explizite Formel)

oder in ausgeschriebener Form:

$a_0=a_0,\ a_1=a_0+d,\ a_2=a_0+2d,\ a_3=a_0+3d,\dots$

Beispiel

Arithmetische Folge mit dem Anfangsglied $a_0=25$ und der Differenz $d=-3$

$\begin{align} a_0&=25-0\cdot3=25,\\ a_1&=25-1\cdot3=22,\\ a_2&=25-2\cdot3=19,\\ a_3&=25-3\cdot3=16,\\ \vdots \end{align}$

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt, ergibt sich

$25,\ 22,\ 19,\ 16,\ 13 ,\ 10,\ 7,\ 4,\ 1,\ -2,\ \dots$

Arithmetisches Mittel

Die Bezeichnung „arithmetische Folge“ leitet sich aus dem arithmetischen Mittel ab. Jedes Glied einer arithmetischen Folge $a_i\$ mit $i>0\$ ist nämlich das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder:

$a_i = \frac{a_{i+1} + a_{i-1}}{2}$

Die Summation der Folgenglieder ergibt die arithmetische Reihe.

Differenzenfolge

Die Folge der Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder nennt man Differenzenfolge.

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenzenfolge konstant: für jedes $i > 0\$ gilt: $a_{i+1}-a_i=d\$ .

Ungerade Zahlen

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender, ungerader, natürlicher Zahlen ist immer 2. Also ergibt sich als Differenzenfolge die Folge, die nur aus Zweien besteht:

$1\$

$3\$

$5\$

$7\$

$9\$

$11\$

$13\$

$...\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$...\$

Primzahlfolge

Beispiel einer arithmetischen Progression von Primzahlen mit dem konstanten Abstand 210:

$199\$

$409\$

$619\$

$829\$

$1039\$

$1249\$

$1459\$

$1669\$

$1879\$

$2089\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

Die Folge endet nach 10 Gliedern (AP-10). Die Differenz selbst ist ein Primorial (210 = 2·3·5·7). Terence Tao und Ben Green bewiesen, dass es beliebig lange, derartiger arithmetischer Progressionen von Primzahlen geben muss. Die bislang (2010) längste bekannte dieser Folgen besteht aus 26 Elementen (AP-26).

Arithmetische Folgen höherer Ordnung

Folgen, die sich auf eine arithmetische Folge zurückführen lassen, nennt man arithmetische Folgen höherer Ordnung. Es handelt sich dabei genau um diejenigen Folgen, die sich durch eine Polynomfunktion beschreiben lassen; die Ordnung ist dabei der Grad des Polynoms.

Berechnung

Formeln zur Berechnung arithmetischer Folgen allgemeiner Ordnung:

• $\sum_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)}{2}$
• $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• $\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

Die Faulhabersche Formel, $B_k$ ist die $k$-te Bernoulli-Zahl:

• $\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}$

Tetraederzahlen

Folge:

$1\$

$4\$

$10\$

$20\$

$35\$

$56\$

$84\$

$...\$

1. Differenzenfolge:

$3\$

$6\$

$10\$

$15\$

$21\$

$28\$

$...\$

2. Differenzenfolge:

$3\$

$4\$

$5\$

$6\$

$7\$

$...\$

3. Differenzenfolge:

$1\$

$1\$

$1\$

$1\$

$1\$

$...\$

Die Folge der Tetraederzahlen ist eine arithmetische Folge 3. Ordnung. Die Polynomfunktion, welche die Folge beschreibt, lautet:

$a_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{1}{6}\cdot(n^3+3n^2+2n)$.

Der größte Exponent bestimmt den Grad der Polynomfunktion, und das ist in diesem Fall die drei.

Wie man der Tabelle entnehmen kann, ist die Folge der Dreieckszahlen (1. Differenzenfolge) eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Quadratzahlen

Folge:

$1\$

$4\$

$9\$

$16\$

$25\$

$36\$

$49\$

$...\$

1. Differenzenfolge:

$3\$

$5\$

$7\$

$9\$

$11\$

$13\$

$...\$

2. Differenzenfolge:

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$...\$

Auch bei der Folge der Quadratzahlen handelt es sich also um eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Siehe auch

• Geometrische Folge
• Arithmetische Reihe

Weblinks

• Erklärungen für Schüler