Arithmetische Folge

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Eine arithmetische Folge (auch: arithmetische Progression) ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Eine einfache arithmetische Folge stellen die ungeraden natürlichen Zahlen dar:  1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11, \ldots

Berechnung[Bearbeiten]

Es gilt:

a_{i+1}=a_i +d\ (rekursive Formel).

Das i-te Glied a_i einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied a_0 und der Differenz d berechnet sich aus

 a_i = a_0 + i\cdot d (explizite Formel)

oder in ausgeschriebener Form:

 a_0=a_0,\ a_1=a_0+d,\ a_2=a_0+2d,\ a_3=a_0+3d,\dots

Beispiel[Bearbeiten]

Arithmetische Folge mit dem Anfangsglied a_0=25 und der Differenz d=-3

\begin{align}
  a_0&=25+0\cdot(-3)=25,\\
  a_1&=25+1\cdot(-3)=22,\\
  a_2&=25+2\cdot(-3)=19,\\
  a_3&=25+3\cdot(-3)=16,\\
  \vdots
\end{align}

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt, ergibt sich

25,\ 22,\ 19,\ 16,\ 13 ,\ 10,\ 7,\ 4,\ 1,\ -2,\  \dots

Arithmetisches Mittel[Bearbeiten]

Die Bezeichnung „arithmetische Folge“ leitet sich aus dem arithmetischen Mittel ab. Jedes Glied einer arithmetischen Folge a_i\ mit i>0\ ist nämlich das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder:

a_i = \frac{a_{i+1} + a_{i-1}}{2}

Die Summation der Folgenglieder ergibt die arithmetische Reihe.

Differenzenfolge[Bearbeiten]

Die Folge der Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder nennt man Differenzenfolge.

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenzenfolge konstant: für jedes i > 0\ gilt: a_{i+1}-a_i=d\ .

Ungerade Zahlen[Bearbeiten]

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen ist immer 2. Also ergibt sich als Differenzenfolge die Folge, die nur aus Zweien besteht:

1\ 3\ 5\ 7\ 9\ 11\ 13\ ...\
2\ 2\ 2\ 2\ 2\ 2\ ...\

Primzahlfolge[Bearbeiten]

Beispiel einer arithmetischen Progression von Primzahlen mit dem konstanten Abstand 210:[1]

199\ 409\ 619\ 829\ 1039\ 1249\ 1459\ 1669\  1879\  2089\
210\ 210\ 210\ 210\ 210\ 210\ 210\ 210\ 210\

Die Folge endet nach 10 Gliedern (AP-10). Die Differenz selbst ist ein Primorial (210 = 2·3·5·7). Terence Tao und Ben Green bewiesen, dass es beliebig lange derartige arithmetische Progressionen von Primzahlen geben muss. Die bislang (2010) längste bekannte dieser Folgen besteht aus 26 Elementen (AP-26).

Arithmetische Folgen höherer Ordnung[Bearbeiten]

Folgen, die sich auf eine arithmetische Folge zurückführen lassen, nennt man arithmetische Folgen höherer Ordnung. Es handelt sich dabei genau um diejenigen Folgen, die sich durch eine Polynomfunktion beschreiben lassen; die Ordnung ist dabei der Grad des Polynoms.

Berechnung[Bearbeiten]

Formeln zur Berechnung arithmetischer Folgen allgemeiner Ordnung:

  • \sum_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)}{2}
  • \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Die Faulhabersche Formel, B_k ist die k-te Bernoulli-Zahl:

  • \sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}

Tetraederzahlen[Bearbeiten]

Folge: 1\ 4\ 10\ 20\ 35\ 56\ 84\ ...\
1. Differenzenfolge: 3\ 6\ 10\ 15\ 21\ 28\ ...\
2. Differenzenfolge: 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ ...\
3. Differenzenfolge: 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ ...\

Die Folge der Tetraederzahlen ist eine arithmetische Folge 3. Ordnung. Die Polynomfunktion, welche die Folge beschreibt, lautet:

a_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{1}{6}\cdot(n^3+3n^2+2n).

Der größte Exponent bestimmt den Grad der Polynomfunktion, und das ist in diesem Fall die drei.

Wie man der Tabelle entnehmen kann, ist die Folge der Dreieckszahlen (1. Differenzenfolge) eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Quadratzahlen[Bearbeiten]

Folge: 1\ 4\ 9\ 16\ 25\ 36\ 49\ ...\
1. Differenzenfolge: 3\ 5\ 7\ 9\ 11\ 13\ ...\
2. Differenzenfolge: 2\ 2\ 2\ 2\ 2\ ...\

Auch bei der Folge der Quadratzahlen handelt es sich also um eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Prime Arithmetic Progressionl. In: MathWorld (englisch).