Hartley-Transformation

Die Hartley-Transformation, abgekürtzt HT, ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation mit Bezug zur Fourier-Transformation und wie diese eine Frequenztransformation. Im Gegensatz zur komplexen Fourier-Transformation ist die Hartley-Transformation eine reelle Transformation. Sie ist nach Ralph Hartley benannt, welcher sie 1942 vorstellte .

Die Hartley-Transformation existiert auch in diskreter Form, der diskreten Hartley-Transformation, abgekürtzt DHT, welche in der digitalen Signalverarbeitung und der Bildverarbeitung Anwendung findet. Diese Form wurde 1994 von R.N.Bracewell veröffentlicht .

Definition

Die Hartley-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert als:

$H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f(t)\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t$

mit der Kreisfrequenz ω als Kreisfrequenz und der Abkürzung:

${\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)$

welche als „Hartley-Kern“ bezeichnet wird.

In der Literatur existieren auch betreffend des Faktor ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ abweichende Definitionen, welche diesen Faktor auf 1 normieren und bei der inversen Hartley-Transformation der Faktor ${\frac {1}{2\pi }}$ auftritt.

Inverse Transformation

Die Hartley-Transformation ist nach obiger Definition zu sich selbst invers, womit sie eine involutive Transformation ist:

$f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}$

Bezug zur Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation

$F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )$

weicht durch ihren komplexen Kern:

$\exp \left({-\mathrm {j} \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {j} \sin(\omega t)$

mit der imaginären Einheit j von dem rein reellen Kern cas(ωt) der Hartly-Transformation ab. Bei entsprechender Wahl der Normalisierungsfaktoren kann die Fourier-Transformation direkt aus der Hartly-Transformation berechnet werden:

$F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-\mathrm {j} {\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}$

Der Real- bzw. Imaginärteil der Fourier-Transformation wird dabei durch die geraden und ungeraden Anteile der Hartley-Transformation gebildet.

Literatur

• Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-24999-0. 
• Ronald Newbold Bracewell: The Hartley Transform. 1. Auflage. Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-503969-6.