Frobenius-Methode

Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius, ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

$u''+p(z)u'+q(z)u=0$

zu finden, wobei $(z-z_{0})p(z)$ und $(z-z_{0})^{2}q(z)$ als analytisch in einer Umgebung von $z=z_{0}$ vorausgestzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe

$u(z)=(z-z_{0})^{\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(z-z_{0})^{n}$

anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten $\alpha ,u_{n}$ durch Koeffizientenvergelich zu bestimmen.

Satz von Frobenius

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir $z_{0}=0$ setzten. Gegeben sei die Differentialgleichung

$u''+p(z)u'+q(z)u=0$

wobei $p(z)$ bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und $q(z)$ bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form

$p(z)={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}z^{n},\qquad q(z)={\frac {1}{z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }q_{n}z^{n}$

geschrieben werden, wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren.

Die charakteristischen Exponenten

$\alpha _{1,2}={\frac {1}{2}}\left(1-p_{0}\pm {\sqrt {(p_{0}-1)^{2}-4q_{0}}}\right)$

sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung

$\alpha ^{2}+(p_{0}-1)\alpha +q=0.$

und wir können sie gemäß $\mathrm {Re} (\alpha _{1})\geq \mathrm {Re} (\alpha _{1})$ ordnen.

Dann gilt folgende Fallunterscheidung:

• Ist $\alpha _{1}-\alpha _{2}$ keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

$u_{j}(z)=z^{\alpha _{j}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{j,n}z^{n},\qquad u_{j,0}=1.$

• Ist $\alpha _{1}-\alpha _{2}$ eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

$u_{1}(z)=z^{\alpha _{1}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{1,n}z^{n},\qquad u_{2}(z)=z^{\alpha _{2}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{2,n}z^{n}+c\log(z)u_{1}(z),\qquad ,u_{j,0}=1.$

Der Konvergenzradius entspricht dem Minnimum des Konvergenzradius der Reihen für $p(z),q(z)$.

Satz von Fuchs

Der Satz von Fuchs, nach Lazarus Immanuel Fuchs, besagt, dass auch die Umkehrung richtig ist: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat $p(z)$ bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und $q(z)$ bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung. Man spricht in deshalb Fall auch von der Fuchs'schen Differentialgleichung.

Verallgemeinerungen

Der Satz von Frobenius und der Satz von Fuchs können auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.

Beispiele

Einige Beispiele die mit der Methode von Frobenius gelöst werden können:

• Bessel'sche Differentialgleichung
• Legendre'sche Differentialgleichung
• Laguerre'sche Differentialgleichung
• hypergeometrische Differentialgleichung

Literatur

Walter, Wolfgang: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2.