Besselsche Differentialgleichung

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Die Besselsche Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel. Ihre Lösungen heißen Bessel-Funktionen oder Zylinderfunktionen.

Besselsche Differentialgleichung[Bearbeiten]

Die Besselsche Differentialgleichung ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die durch


x^2 \frac{\mathrm d^2 f}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm df}{\mathrm dx} + (x^2 - \nu^2)f = 0

definiert ist, wobei \nu eine reelle oder komplexe Zahl ist. Die Lösungen heißen Bessel-Funktionen \nu-ter Ordnung.

Entsprechend ist der Bessel-Operator ein Differentialoperator zweiter Ordnung. Er ist definiert durch

B_\nu := x^2 \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} + (x^2 - \nu^2)\, .

Mit ihm kann man die Besselsche Differentialgleichung kurz durch

B_\nu f = 0

ausdrücken.[1]

Bessel-Funktionen[Bearbeiten]

Allgemein[Bearbeiten]

Die Bessel-Funktionen erster Gattung für J0, J1 und J2
Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung Y0, Y1 und Y2

Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen Bessel-Funktionen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik, da die Besselsche Differentialgleichung den radialen Anteil der Laplace-Gleichung bei zylindrischer Symmetrie darstellt. Auf die Bessel-Funktionen trifft man unter anderem bei der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran oder Orgelpfeife, der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, der Wärmeleitung in Stäben, der Analyse des Frequenzspektrums frequenzmodulierter Signale, der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, den stationären Zuständen von Kastenpotentialen, der Leistungsverteilung in Kernreaktoren und der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern. Man zählt die Bessel-Funktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.

Als Differentialgleichung zweiter Ordnung muss die Besselsche Differentialgleichung zwei linear unabhängige Lösungen besitzen. Es gibt dementsprechend verschiedene Varianten der Besselfunktionen.

Bessel-Funktionen erster Gattung Jν[Bearbeiten]

Die Bessel-Funktionen erster Gattung  J_\nu sind definiert als


J_\nu(x) = \sum_{r=0}^\infty \frac{(-1)^r (\frac{x}{2})^{2r+\nu}}{\Gamma(\nu+r+1)r!} \,
,

wobei \Gamma(x) die Gammafunktion ist. Im Ursprung (x=0) sind diese Funktionen für ganzzahlige \nu endlich.

Für nicht-ganzzahlige \nu sind J_\nu und J_{-\nu} linear unabhängige Lösungen. Für ganzzahlige n gilt jedoch die Beziehung

J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x) = J_n(-x)\,.

In diesem Fall kann die zweite unabhängige Lösung mithilfe der Bessel-Funktion zweiter Gattung gefunden werden, die weiter unten diskutiert wird.

Integraldarstellungen[Bearbeiten]

Für ganzzahlige n kann man die Bessel-Funktion erster Gattung auch als Integral darstellen


\begin{align}
J_n (x) &= \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm d \tau\\
J_n (x) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-\mathrm{i}\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm d \tau.
\end{align}

Hypergeometrische Funktion[Bearbeiten]

Die Bessel-Funktion erster Gattung kann durch die hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

J_\nu(x)=\frac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)}  \;_0F_1 (\nu+1; -x^2/4).

Dieser Ausdruck hängt mit der Entwicklung der Bessel-Funktion in Abhängigkeit zur Bessel-Clifford-Funktion zusammen.

Bessel-Funktionen zweiter Gattung Yν[Bearbeiten]

Auch die Bessel-Funktionen zweiter Gattung Y_\nu(x) (auch Weber-Funktionen oder Neumann-Funktionen genannt) lösen die Besselsche Differentialgleichung. Eine alternative Bezeichnung ist N_\nu(x). Für nicht-ganzzahlige \nu kann man die Y_\nu(x) definieren durch

Y_\nu(x) = \frac{J_\nu(x) \cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}.

Für ganzzahlige n muss man den Grenzübergang bilden

Y_n(x) = \lim_{\nu\to n} Y_\nu(x).

Nach Ausführung des Grenzüberganges mit der Regel von L’Hospital findet man, dass diese Funktionen eine logarithmische Singularität im Ursprung haben:

\begin{align}
Y_n(x) =\,& \frac2{\pi}\left(\gamma+\ln\frac{x}2\right)J_n(x)
 - \frac1{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{x}2\right)^{2k-n}\\
 &{}- \frac1{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{H_k+H_{k+n}}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}2\right)^{2k+n}
\end{align}

Hierbei ist \gamma die Eulersche Konstante und H_n die harmonische Reihe.

Für alle \nu ist neben der Bessel-Funktion erster Gattung J_\nu die Bessel-Funktion zweiter Gattung Y_\nu eine zweite, linear unabhängige Lösung.

Für ganzzahlige n gilt wie für die Bessel-Funktionen erster Gattung die folgende Beziehung

Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x).

Bessel-Funktionen dritter Gattung Hν(1), Hν(2)[Bearbeiten]

Die Bessel-Funktionen dritter Gattung H_\nu^{(1)}, H_\nu^{(2)} (auch bekannt als Hankel-Funktionen) sind Linearkombinationen der Bessel-Funktionen erster und zweiter Gattung

\begin{align}
H_\nu^{(1)}(x) &= J_\nu(x) + \mathrm i \cdot Y_\nu(x)\,,\\
H_\nu^{(2)}(x) &= J_\nu(x) - \mathrm i \cdot Y_\nu(x)\,,
\end{align}

wobei i die imaginäre Einheit bezeichnet. Auch diese beiden Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der Besselschen Differentialgleichung.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten]

\frac{\nu}{x} \Omega_\nu = \frac{1}{2}(\Omega_{\nu-1} + \Omega_{\nu+1}) ,
 \Omega'_\nu = \frac{1}{2}(\Omega_{\nu-1} - \Omega_{\nu+1}) .
  • Für alle x \in \R gilt  \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)^2 = 1 .
  • Für alle n \in \N gilt  \left(-\frac{1}{x}\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\right)^n J_0(x) = \frac{J_n(x)}{x^n} .

Asymptotisches Verhalten[Bearbeiten]

Wir nehmen für die folgende Ausdrücke an, dass \nu reell und nicht-negativ ist. Für kleine Argumente 0 < x \ll \sqrt{\nu+1} gelten die asymptotischen Darstellungen


 \begin{align}
 J_\nu(x) &\approx \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^\nu \\
 Y_\nu(x) &\approx \begin{cases}
  \frac{2}{\pi} \left( \ln \left(\frac{x}{2}\right) + \gamma \right)  & \text{wenn } \nu=0 \\ \\
  -\frac{\Gamma(\nu)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right)^\nu & \text{wenn } \nu > 0.
 \end{cases}
 \end{align}

Für große Argumente x\gg|\nu^2 - 1/4| findet man

 
\begin{align}
 J_\nu(x) &\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \\
 Y_\nu(x) &\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left( x-\frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)
\end{align}
.

Diese Formeln sind für \nu=1/2 exakt. Vergleiche hierfür mit den sphärischen Besselfunktionen weiter unten.

Modifizierte Bessel-Funktionen[Bearbeiten]

Die modifizierte Bessel-Funktionen erster Gattung für I0, I1, I2 und I3
Die modifizierte Bessel-Funktionen zweiter Gattung für K0, K1, K2 und K3

Die Differentialgleichung

 x^2 \frac{\mathrm d^2 f}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm d f}{\mathrm dx} - (x^2 + \nu^2)f = 0

wird durch Bessel-Funktionen mit rein imaginärem Argument gelöst. Man definiert für ihre Lösung normalerweise die modifizierten Bessel-Funktionen


\begin{align}
I_\nu(x) &= i^{-\nu} J_\nu(ix)=\sum_{r=0}^\infty \frac{(\frac{x}{2})^{2r+\nu}}{\Gamma(r+\nu+1)r!} \\
K_\nu(x) &= \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu} (x) - I_\nu (x)}{\sin (\nu \pi)} = \frac{\pi}{2} i^{\nu+1} H_\nu^{(1)}(ix)\\
&= \frac{\pi}{2} (-i)^{\nu+1} H_\nu^{(2)}(-ix)
\end{align}

Die Funktion K_\nu(x) ist auch als MacDonald-Funktion bekannt. Anders als die „normalen“ Besselfunktionen weisen die modifizierten Besselfunktionen kein oszillierendes, sondern ein exponentielles Verhalten auf.

Airysche Integrale[Bearbeiten]

Für die Funktionen K_{1/3} und K_{2/3} kann man eine Integraldarstellung angeben

 \begin{align}
K_{1/3}(x) &= \sqrt{3} \int_0^\infty \cos\left(\frac{3}{2}x\left(u + \frac{u^3}{3}\right)\right) \mathrm du \\
K_{2/3}(x) &= \sqrt{3} \int_0^\infty u \sin\left(\frac{3}{2}x\left(u + \frac{u^3}{3}\right)\right) \mathrm du
\end{align}
.

Hypergeometrische Funktion[Bearbeiten]

Auch die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung kann durch die hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

I_\nu(x)=\frac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)}  \;_0F_1 (\nu+1; x^2/4).

Asymptotisches Verhalten[Bearbeiten]

Wir nehmen wieder an, dass \nu reell und nicht-negativ ist. Für kleine Argumente 0 < x \ll \sqrt{\nu+1} findet man


 \begin{align}
 I_\nu(x) &\approx \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^\nu \\
 K_\nu(x) &\approx \begin{cases}
  -\left( \ln \left(\frac{x}{2}\right) + \gamma \right)  & \text{wenn } \nu=0 \\ \\
  \frac{\Gamma(\nu)}{2} \left( \frac{2}{x} \right)^\nu & \text{wenn } \nu > 0
 \end{cases}
 \end{align}
.

Für große Argumente x\gg|\nu^2 - 1/4| erhält man

 
\begin{align}
 I_\nu(x) &\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^x \left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x}\right)\right) \\
 K_\nu(x) &\approx \sqrt{\frac{\pi}{2 x}} e^{-x} \left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x}\right)\right)
\end{align}
.

Sphärische Besselfunktionen[Bearbeiten]

Die Helmholtz-Gleichung in Kugelkoordinaten führt nach Separation der Variablen auf die Radialgleichung

x^2 \frac{\mathrm d^2 f_\mu(x)}{\mathrm dx^2} + 2x \frac{\mathrm df_\mu(x)}{\mathrm dx} + [x^2 - \mu(\mu+1)]f_\mu(x) = 0.

Nach der Substitution

f_\mu(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} u_\mu(x)

erhält man die Besselsche Differentialgleichung (\nu=\mu+1/2)

x^2 \frac{\mathrm d^2 u_\mu(x)}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm du_\mu(x)}{\mathrm dx} + \left[x^2 - \left(\mu+\frac{1}{2}\right)^2\right]u_\mu(x) = 0.

Für die Lösung f_\mu(x) der Radialgleichung werden üblicherweise die sphärischen Bessel-Funktionen j_\mu(x), die sphärischen Neumann-Funktionen y_\mu(x)=n_\mu(x) und die sphärischen Hankel-Funktionen h_\mu^{(1,2)}(x) definiert:

\begin{align}
j_\mu(x)&=\sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{\mu+1/2}(x) \\
y_\mu(x)&=\sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{\mu+1/2}(x) \\
h_\mu^{(1,2)}(x)&=\sqrt{\frac{\pi}{2x}} H_{\mu+1/2}^{(1,2)} = j_\mu(x)\pm i y_\mu(x)
\end{align}
.

Sowohl j_\mu(x) und y_\mu(x) als auch h_\mu^{(1,2)}(x) sind linear unabhängige Lösungen.

Es gelten die alternativen Darstellungen für m \in \N

\begin{align}j_m(x) &= (-x)^m \left(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^m \  \frac{\sin x}{x}\\
y_m(x) &= -(-x)^m \left(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^m \  \frac{\cos x}{x} \\
h_m^{(1,2)} (x) &= \mp i (-x)^m \left(\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^m \frac{e^{\pm i x}}{x}\\
\end{align}

Die sphärischen Bessel- und Hankelfunktionen werden beispielsweise für die Behandlung des kugelsymmetrischen Potentialtopfs in der Quantenmechanik benötigt.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten]


\begin{align}
\frac{2\mu+1}{x} \omega_\mu(x) &= \omega_{\mu-1}(x) + \omega_{\mu+1}(x) \\
(2\mu+1)\omega'_\mu(x) &= \mu\omega_{\mu-1}(x)-(\mu+1)\omega_{\mu+1}(x) \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x \omega_\mu(x)) &= x\omega_{\mu-1}(x) - \mu \omega_\mu(x)
\end{align}
.
 W(j_\mu, y_\mu) = \frac{1}{i} W(j_\mu,h_\mu^{(1)}) = - W(y_\mu, h_\mu^{(1)}) = \frac{1}{x^2} .

Hankel-Transformation[Bearbeiten]

Hauptartikel: Hankel-Transformation

Die Hankel-Transformation ist eine Integraltransformation, die eng mit der Fourier-Transformation verwandt ist. Der Integralkern der Hankel-Transformation ist die Bessel-Funktion erster Gattung J_n, das heißt der Integraloperator lautet

H_n[f](s) = \int_0^\infty J_n(t s) t f(t) \mathrm{d} t.

Eine besondere Eigenschaft der Hankel-Transformation ist, dass mit ihr der Bessel-Operator in einen algebraischen Ausdruck (eine Multiplikation) überführt werden kann.

Geschichte[Bearbeiten]

Bessel-Funktionen wurden von Bessel 1824[2] ausführlich behandelt, tauchten aber auch schon vorher bei speziellen physikalischen Problemen auf zum Beispiel bei Daniel Bernoulli (Schwingung schwerer Ketten 1738), Leonard Euler (Membranschwingung 1764), in der Himmelsmechanik bei Joseph-Louis Lagrange (1770) und Pierre-Simon Laplace und bei der Wärmeleitung bei Joseph Fourier (Wärmeausbreitung in Zylinder 1822) und Siméon Denis Poisson (1823).[3][4]

Literatur[Bearbeiten]

Besselfunktionen werden in vielen Lehrbüchern der Theoretischen Physik behandelt z.B.:

  • Arnold Sommerfeld Vorlesungen über Theoretische Physik, Band 6: Partielle Differentialgleichungen der Physik, Harri Deutsch 1992
  • John David Jackson: Classical Electrodynamics. John Wiley, New York NY 1962 (3. edition. ebenda 1999, ISBN 0-471-30932-X; deutsch: 4. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-11-018970-4).
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2. Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen, 6. Auflage, Springer-Lehrbuch, 2006, ISBN 978-3-540-26035-6

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Guido Walz (Hrsg.): Bessel-Operator. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3827404398.
  2. Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht, Berliner Abhandlungen, 1824, S. 1-52 (veröffentlicht 1826)
  3. Jacques Dutka On the early history of Bessel functions, Archive for History of Exact Sciences, Band 49, 1995, S. 105-134
  4. G. N. Watson Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1944, Kapitel 1 (zur Geschichte)

Weblinks[Bearbeiten]