Hypergeometrische Differentialgleichung

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Die hypergeometrische Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

x(x - 1)y'' + \left((\alpha + \beta + 1)x - \gamma\right)y' + \alpha\beta y = 0,\ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\ .

Ist -\gamma \notin \mathbb{N}_{0}, so erhält man mit einem Potenzreihenansatz y(x) = \sum^{\infty}_{n=0} a_{n}x^{n} die Rekursionsformel für die Lösung:

a_{n+1}=\frac{(\alpha + n)(\beta + n)}{(1 + n)(\gamma + n)}a_{n}

Setzt man beispielsweise a_{0} = 1, so erhält man als Lösung die hypergeometrische Funktion

y(x) = F(\alpha, \beta, \gamma, x) = 1 + \frac{\alpha\beta}{1!\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha + 1)\beta(\beta + 1)}{2!\gamma(\gamma + 1)}x^2 + \cdots

Diese Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius R = 1.

Mit der hypergeometrischen Funktion F(\alpha, \beta, \gamma, z) können viele andere Funktionen dargestellt werden:

 \alpha   \beta   \gamma   z   F(\alpha, \beta, \gamma, z) 
1 \beta \beta x 1/(1-x)
-p 1 1 -x (1+x)^p
\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{3}{2} x^2 \frac{\arcsin(x)}{x}
1 1 2 x \ln\left(1-x\right)
1 \infty(*) 1 \frac{x}{\beta} \exp{(x)}
n+1 -n 1 \frac{1-x}{2} P_n\left(x\right)(**)

(*)Es muss der Grenzwert gebildet werden.

(**)Das n-te Legendre-Polynom, n \in \mathbb{N}_0.

Die hypergeometrische Differentialgleichung kann noch verallgemeinert werden zur heunschen Differentialgleichung.

Konfluente hypergeometrische Differentialgleichung[Bearbeiten]

Diese Differentialgleichung besitzt die Form

\ x u'' + (\beta - x)u' - \alpha u = 0\ .

Für -\beta \notin \mathbb{N}_{0} wird die Differentialgleichung durch die kummersche Funktion, benannt nach Ernst Eduard Kummer,

K(\alpha, \beta, x) = 1 + \frac{\alpha}{1!\beta}x+\frac{\alpha(\alpha + 1)}{2!\beta(\beta + 1)}x^2 + \cdots

gelöst.

Quellen[Bearbeiten]