Satz von der monotonen Konvergenz

Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},\mu )$ ein Maßraum. Für jede Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_{n}:\Omega \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$, die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion $f:\Omega \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ konvergiert, gilt:

$\int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu$

Beweis

Dass die rechte Seite kleiner als die linke Seite ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Zu beweisen ist also nur die andere Richtung. Dies zeigt man zuerst für einfache messbare Funktion, Treppenfunktionen, und führt dann einen Erweiterungsschluss durch.

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsgrößen, dann gilt fast sicher $\lim _{n\mapsto \infty }E(X_{n})=E(\lim _{n\mapsto \infty }X_{n})$.

Sei ferner $G\subset {\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra. Ist $\lim _{n\mapsto \infty }X_{n}$ integrierbar, so gilt fast sicher $\lim _{n\mapsto \infty }E(X_{n}|G)=E(\lim _{n\mapsto \infty }X_{n}|G)$

Anwendung des Satzes

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},\mu )$ wieder ein Maßraum. Für jede Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_{n}:\Omega \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ gilt

$\int _{\Omega }\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu$

Siehe auch

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Lemma von Fatou

Literatur

• Elliott H. Lieb & Michael Loss: Analysis, Second Edition, ISBN 0-8218-2783-9