Lemma von Fatou

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Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten]

Sei (S,\Sigma,\mu) ein Maßraum. Für jede Folge (f_n)_{n\in\N} nichtnegativer, messbarer Funktionenf_n\colon S\to\R\cup\{\infty\} gilt

\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu,

wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge (f_n)_{n\in\N} punktweise zu verstehen ist.

Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion g mit f_n \le g gibt:

\int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \ge \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu.

Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel

\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu
\le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu
\leq \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu
\leq \int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu.

Beweisidee[Bearbeiten]

Um das Lemma von Fatou für den Limes inferior zu beweisen, wendet man auf die monoton wachsende Funktionenfolge

 g_n := \inf_{k\geq n}f_k \nearrow \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n

den Satz von der monotonen Konvergenz an. Mit der daraus resultierenden Gleichung und der auf der Monotonie des Integrals basierenden Ungleichung

\int_S\left(\inf_{k\geq n}f_k\right) \le \int_S f_n

erhält man aus den Rechenregeln für den Limes:

\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_S \left(\inf_{k\geq n}f_k\right) \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n.

Für das Lemma von Fatou mit Limes superior kann man analog verfahren, denn nach Voraussetzung ist g_1 = \sup_{k\geq 1}f_k \le g mit g integrierbar, also ist g_1 integrierbar.

Beispiele für strikte Ungleichung[Bearbeiten]

Der Grundraum S sei jeweils versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.

Jedes f_n hat Integral eins,

\int_S f_n \ \mathrm{d}\mu=1

deshalb gilt

1
=\lim_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu
=\liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu
=\limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu

Die Folge (f_n)_{n\in\N} konvergiert auf S punktweise gegen die Nullfunktion

0
=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n
=\liminf_{n\rightarrow\infty} f_n
=\limsup_{n\rightarrow\infty} f_n,

daher ist das Integral ebenfalls Null

0=\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu
= \int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu,

daher gelten hier die strikten Ungleichungen

\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu < \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu,
\int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu < \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu

Diskussion der Voraussetzungen[Bearbeiten]

Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei S das halboffene Intervall [0, \infty) mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle n \in \N definiere f_n(x):=-\tfrac{1}{n} \mathfrak{1}_{[0,n]}(x). Die Folge (f_n)_{n\in\N} konvergiert auf S (sogar gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes f_n hat aber Integral -1. Daher ist

0 = \int_S \lim_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu > \lim_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \mathrm{d}\mu = -1 .

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]