Funktionenfolge

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Eine Funktionenfolge, die im nicht-schraffierten Bereich gegen den natürlichen Logarithmus (rot) konvergiert. In diesem speziellen Fall handelt es sich um eine n-te Partialsumme einer Potenzreihe, und n gibt die Anzahl der Summanden an.

Eine Funktionenfolge ist eine Folge, deren einzelne Glieder Funktionen sind. Funktionenfolgen und ihre Konvergenzeigenschaften sind für alle Teilgebiete der Analysis von großer Bedeutung. Vor allem wird hierbei untersucht, in welchem Sinne die Folge konvergiert, ob die Grenzfunktion Eigenschaften der Folge erbt oder ob Grenzwertbildungen bei Funktionenfolgen vertauscht werden können. Viele wichtige Beispiele sind Reihen von Funktionen, etwa Potenzreihen oder Fourier-Reihen.

Definition[Bearbeiten]

Eine (reelle) Funktionenfolge ist eine Folge f_1,f_2,f_3,\ldots von Funktionen f_i\colon\R\to\R. Allgemeiner können Definitions- und Zielmenge auch andere Mengen sein, beispielsweise Intervalle; sie müssen jedoch für alle Funktionen dieselben sein.

Abstrakt kann eine Funktionenfolge als Abbildung

f\colon D\times\mathbb N\to Z,\quad (x,n)\mapsto f_n(x)

für eine Definitionsmenge D und eine Zielmenge Z definiert werden.

Beispiele[Bearbeiten]

Vertauschung Grenzwert und Integralzeichen[Bearbeiten]

Für die Folge (f_n)_{n\in\N}\;, f_n\colon[0,2]\to\mathbb R mit

f_n(x)=\begin{cases}n^2x&0\leq x\leq 1/n\\2n-n^2x&1/n\leq x\leq2/n\\0&x\geq2/n\end{cases}

gilt für jedes fixe x

\lim_{n\to\infty} f_n(x) =0,

sie konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion. Jedoch gilt für alle n \in \N

\int_0^2f_n(x)\,\mathrm dx=1,

also

\lim_{n\to\infty}\int_0^2f_n(x)\,\mathrm dx\ne\int_0^2\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,\mathrm dx.

Punktweise Konvergenz reicht also nicht aus, damit Grenzwert und Integralzeichen vertauscht werden dürfen; damit diese Vertauschung erlaubt ist, ist ein strengeres Konvergenzverhalten, nämlich die sogenannte gleichmäßige Konvergenz, hinreichend.

Potenzreihen[Bearbeiten]

In der Analysis treten Funktionenfolgen häufig als Summen von Funktionen, also als Reihe auf, insbesondere als Potenzreihe oder allgemeiner als Laurentreihe.

Fourieranalyse und Approximationstheorie[Bearbeiten]

In der Approximationstheorie wird untersucht, wie gut sich Funktionen als Grenzwert von Funktionenfolgen darstellen lassen, wobei insbesondere die quantitative Abschätzung des Fehlers von Interesse ist. Die Funktionenfolgen treten dabei üblicherweise als Funktionenreihen auf, also als Summe \textstyle \sum_{n=1}^N f_n(x). Beispielsweise konvergieren Fourierreihen im L^2-Sinn gegen die darzustellende Funktion. Bessere Approximationen im Sinne der gleichmäßigen Konvergenz erhält man oft mit Reihen aus Tschebyschow-Polynomen.

Stochastik[Bearbeiten]

In der Stochastik ist eine Zufallsvariable X als messbare Funktion X: \Omega\to\R eines Maßraums (\Omega,\Sigma,P) mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß P(\Omega)=1 definiert. Folgen X_n von Zufallsvariablen sind daher spezielle Funktionenfolgen, ebenso sind Statistiken wie z. B. der Stichprobenmittelwert \textstyle \bar{X}_N:=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N X_n Funktionenfolgen. Wichtige Konvergenzeigenschaften dieser Funktionenfolgen sind z. B. die Gesetze der großen Zahlen oder die Zentralen Grenzwertsätze.

Numerische Mathematik[Bearbeiten]

In der numerischen Mathematik tauchen Funktionenfolgen beispielsweise bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen \mathrm D f=0 auf, wobei \mathrm D ein (nicht notwendigerweise linearer) Differentialoperator und f die gesuchte Funktion ist. Bei der numerischen Lösung etwa mit der finiten Elementmethode erhält man Funktionen f_n als Lösung der diskretisierten Version der Gleichung \mathrm D_n f=0, wobei n die Feinheit der Diskretisierung bezeichnet. Bei der Analyse des numerischen Algorithmus werden nun die Eigenschaften der diskretisierten Lösungen f_n, die eine Funktionenfolge bilden, untersucht; insbesondere ist es sinnvoll, dass die Folge der diskretisierten Lösungen f_n bei Verfeinerung der Diskretisierung gegen die Lösung des Ausgangsproblems konvergiert.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Beschränktheit[Bearbeiten]

Eine Funktionenfolge f_i:A \to \R;i \in \N ist in einer Menge A \supset \Omega beschränkt, falls eine Konstante c \in \R existiert, so dass \forall i\in \N,x \in \Omega ~~f_i(x)<c .

Lokal gleichmäßige Beschränktheit[Bearbeiten]

Eine Funktionenfolge f_i:A \to \R;i \in \N ist in einem offenen Gebiet A \supset \Omega lokal gleichmäßig beschränkt, falls zu jedem offenen Gebiet \Omega', mit \Omega \supset \Omega' eine Konstante c \in \R existiert, so dass \forall i\in \N,x \in \Omega' ~~f_i(x)<c .

Konvergenzbegriffe[Bearbeiten]

Der Grenzwert f einer Funktionenfolge wird Grenzfunktion genannt. Da die in den Anwendungen auftretenden Funktionsfolgen sehr unterschiedliches Verhalten bei wachsendem Index haben können, ist es notwendig, sehr viele verschiedene Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen einzuführen. Von einem abstrakteren Standpunkt handelt es sich meist um die Konvergenz bezüglich gewisser Normen oder allgemeiner Topologien auf den entsprechenden Funktionenräumen; vereinzelt treten aber auch andere Konvergenzbegriffe auf.

Die verschiedenen Konvergenzbegriffe unterscheiden sich vor allem durch die implizierten Eigenschaften der Grenzfunktion. Die wichtigsten sind:

Klassische Konvergenzbegriffe[Bearbeiten]

Punktweise Konvergenz[Bearbeiten]

Existiert der punktweise Grenzwert

f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)

in jedem Punkt x des Definitionsbereiches, so wird die Funktionenfolge punktweise konvergent genannt. Beispielsweise gilt

\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}x=\begin{cases}1&x=\pi k,\ k\in\mathbb Z\\0&\mathrm{sonst},\end{cases}

die Grenzfunktion ist also unstetig.

Gleichmäßige Konvergenz[Bearbeiten]

Eine Funktionenfolge (f_n)_n ist gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f, wenn die maximalen Unterschiede zwischen f_n und f gegen null konvergieren. Dieser Konvergenzbegriff ist Konvergenz im Sinne der Supremumsnorm.

Gleichmäßige Konvergenz impliziert einige Eigenschaften der Grenzfunktion, wenn die Folgenglieder sie besitzen:

  • Der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist stetig.
  • Der gleichmäßige Limes einer Folge (Riemann- bzw. Lebesgue-) integrierbarer Funktionen auf einem kompakten Intervall ist (Riemann- bzw. Lebesgue-)integrierbar, und das Integral der Grenzfunktion ist der Limes der Integrale der Folgenglieder: Ist (f_n)_n gleichmäßig konvergent gegen f, so gilt
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n=\int_a^b f.
  • Konvergiert eine Folge (f_n)_n differenzierbarer Funktionen punktweise gegen eine Funktion f und ist die Folge der Ableitungen gleichmäßig konvergent, so ist f differenzierbar und es gilt
\lim_{n\to\infty}f_n'=f'.

Lokal gleichmäßige Konvergenz[Bearbeiten]

Viele Reihen in der Funktionentheorie, insbesondere Potenzreihen, sind nicht gleichmäßig konvergent, weil die Konvergenz für zunehmende Argumente immer schlechter wird. Verlangt man die gleichmäßige Konvergenz nur lokal, das heißt in einer Umgebung eines jeden Punktes, so kommt man zum Begriff der lokal gleichmäßigen Konvergenz, der für viele Anwendungen in der Analysis ausreicht. Wie bei der gleichmäßigen Konvergenz überträgt sich auch bei lokal gleichmäßiger Konvergenz die Stetigkeit der Folgenglieder auf die Grenzfunktion.

Kompakte Konvergenz[Bearbeiten]

Ein ähnlich guter Konvergenzbegriff ist der der kompakten Konvergenz, der gleichmäßige Konvergenz lediglich auf kompakten Teilmengen fordert. Aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt die kompakte Konvergenz, für lokalkompakte Räume, die häufig in Anwendungen auftreten, gilt die Umkehrung.

Normale Konvergenz[Bearbeiten]

In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung von unendlichen Reihen von Funktionen. Eingeführt wurde der Begriff von dem französischen Mathematiker René Louis Baire.

Maßtheoretische Konvergenzbegriffe[Bearbeiten]

Bei den maßtheoretischen Konvergenzbegriffen ist die Grenzfunktion üblicherweise nicht eindeutig, sondern nur fast überall eindeutig definiert. Alternativ lässt sich diese Konvergenz auch als Konvergenz von Äquivalenzklassen von Funktionen, die fast überall übereinstimmen, auffassen. Als eine solche Äquivalenzklasse ist dann der Grenzwert eindeutig bestimmt.

Punktweise Konvergenz fast überall[Bearbeiten]

Sind ein Maßraum (\Omega,\Sigma,\mu) und eine Folge darauf messbarer Funktionen f_n mit Definitionsmenge \Omega gegeben, so wird die Funktionenfolge punktweise konvergent fast überall bezüglich \mu genannt, wenn der punktweise Grenzwert

f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)

fast überall bezüglich \mu existiert, wenn also eine Menge Z\in\Sigma vom Maß Null (\mu(Z)=0) existiert, sodass f_n eingeschränkt auf das Komplement \Omega\backslash Z punktweise konvergiert.

Die Konvergenz fast überall bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes wird in der Stochastik fast sichere Konvergenz genannt.

Beispielsweise gilt

\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}x=0 punktweise fast überall bezüglich des Lebesgue-Maßes.

Ein anderes Beispiel ist die Funktionenfolge f_n: [0,1]\to[0,1], wobei für n=2^r+s\;, 0\leq s\leq 2^r-1

f_{2^r+s}(x):=\begin{cases}1 & \frac{s}{2^r}\leq x\leq \frac{s+1}{2^r}\\ 0 & \mathrm{sonst.}\end{cases}

Diese Folge konvergiert für kein x\in[0,1], da sie für jedes fixe x die Werte 0 und 1 unendlich oft annimmt. Für jede Teilfolge f_{n_k}, k\in \N lässt sich aber eine Teilteilfolge f_{n_{k_l}}, l\in\N angegeben, sodass

\lim_{l\to\infty}f_{n_{k_l}}(x)=0 punktweise fast überall bezüglich des Lebesgue-Maßes.

Gäbe es eine Topologie der punktweisen Konvergenz fast überall, so würde daraus, dass jede Teilfolge von f_n eine Teilteilfolge enthält, die gegen 0 konvergiert, folgen, dass f_n gegen 0 konvergieren muss. Da aber f_n nicht konvergiert, kann es folglich keine Topologie der Konvergenz fast überall geben. Die punktweise Konvergenz fast überall ist damit ein Beispiel eines Konvergenzbegriffes, der zwar den Fréchet-Axiomen genügt, aber nicht durch eine Topologie erzeugt werden kann.[1]

Konvergenz dem Maße nach[Bearbeiten]

In einem Maßraum (\Omega,\Sigma,\mu) wird eine Folge darauf messbarer Funktionen f_n konvergent dem Maße nach gegen eine Funktion f genannt, wenn für jedes \varepsilon>0

\lim_{n\to\infty}\mu\left(\{x:\;|f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon \}\right)=0

gilt [2].

In einem endlichen Maßraum, also wenn \mu(\Omega)<\infty gilt, ist die Konvergenz dem Maße nach schwächer als die Konvergenz fast überall: Konvergiert eine Folge messbarer Funktionen f_n fast überall gegen Funktion f, so konvergiert sie auch dem Maße nach gegen f [3].

In der Stochastik wird die Konvergenz dem Maße nach als Stochastische Konvergenz oder als Konvergenz in Wahrscheinlichkeit bezeichnet [4].

Lp-Konvergenz und Konvergenz in Sobolew-Räumen[Bearbeiten]

Eine Funktionenfolge f_n heißt L^p konvergent gegen f, wenn sie im Sinne des entsprechenden Lp-Raums \mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E) konvergiert, wenn also

 \lim_{n\to\infty} \| f_n-f \|_p = \lim_{n\to\infty} \left( \int_\Omega \| f_n(x)-f(x) \|^p\, \mathrm d \mu(x) \right)^{1/p} = 0.

Ist \mu ein endliches Maß, gilt also \mu(\Omega)<\infty, so folgt für q\geq p\geq 0 aus der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte, dass eine Konstante k\in\R^+ existiert, sodass \|f\|_p\leq k\|f\|_q; insbesondere folgt dann also aus der L^q-Konvergenz von f_n gegen f auch die L^p-Konvergenz von f_n gegen f.

In der Stochastik wird die L^p-Konvergenz als Konvergenz im p-ten Mittel bezeichnet.

Aus der L^p-Konvergenz folgt die Konvergenz dem Maße nach, wie man aus der Tschebyschow-Ungleichung in der Form

\mu\{x: |f_n(x)-f(x)|\geq \varepsilon\}\leq \frac{1}{\varepsilon^p}\int_\Omega |f_n(x)-f(x)|^p {\rm d}\mu(x)

sieht. [5]

Eine Verallgemeinerung der Lp-Konvergenz ist die Konvergenz in Sobolew-Räumen, die nicht nur die Konvergenz der Funktionswerte, sondern auch die Konvergenz gewisser Ableitungen berücksichtigt. Der Sobolewschen Einbettungssatz beschreibt die Abhängigkeiten der Konvergenzbegriffe in den unterschiedlichen Sobolew-Räumen.

Fast gleichmäßige Konvergenz[Bearbeiten]

In einem Maßraum (\Omega,\Sigma,\mu) wird eine Folge darauf messbarer reell- oder komplexwertiger Funktionen f_n fast gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f genannt, wenn für jedes \varepsilon>0 eine Menge A\in\Sigma existiert, sodass \mu(A)<\varepsilon und f_n auf dem Komplement \Omega\backslash A gleichmäßig gegen f konvergiert [6].

Aus der fast gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz fast überall [7]; aus dem Satz von Jegorow folgt, dass in einem endlichen Maßraum auch umgekehrt aus der punktweisen Konvergenz fast überall die fast gleichmäßige Konvergenz folgt [8]. In einem endlichen Maßraum, also insbesondere für reellwertige Zufallsvariablen, sind Konvergenz fast überall und fast gleichmäßige Konvergenz von reellwertigen Funktionenfolgen äquivalent.

Aus der fast gleichmäßigen Konvergenz folgt außerdem die Konvergenz dem Maße nach [7]. Umgekehrt gilt, dass eine dem Maße nach konvergente Folge eine Teilfolge enthält, die fast gleichmäßig (und damit auch fast überall) gegen die gleiche Grenzfolge konvergiert [9].

Schwache Konvergenz[Bearbeiten]

Hauptartikel: Konvergenz (Stochastik)

Hierarchische Ordnung Konvergenzbegriffe in Räumen mit endlichem Maß[Bearbeiten]

In Maßräumen (\Omega,\Sigma,\mu) mit endlichem Maß, wenn also \mu(\Omega)<\infty gilt, ist es großteils möglich, die unterschiedlichen Konvergenzbegriffe nach ihrer Stärke zu ordnen. Dies gilt insbesondere in Wahrscheinlichkeitsräumen, da dort ja \mu(\Omega)=1 gilt.

Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die Konvergenz dem Maße nach auf zwei unterschiedlichen Wegen, der eine führt über die punktweise Konvergenz:

  • f_n\to f gleichmäßig \Rightarrow f_n \to f lokal gleichmäßig (d. h. gleichmäßig auf einer Umgebung eines jeden Punktes).
  • f_n\to f lokal gleichmäßig \Rightarrow f_n \to f kompakt (d. h. gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge).
  • f_n\to f kompakt \Rightarrow f_n \to f punktweise (jeder einzelne Punkt ist ja eine kompakte Teilmenge).
  • f_n\to f punktweise \Rightarrow f_n \to f punktweise fast überall (bzw. fast sicher).
  • f_n\to f punktweise fast überall \Leftrightarrow f_n \to f fast gleichmäßig.
  • f_n\to f fast gleichmäßig \Rightarrow f_n \to f dem Maße nach (bzw. stochastisch oder in Wahrscheinlichkeit).

Der andere Weg von der gleichmäßigen Konvergenz zur Konvergenz dem Maße nach führt über die L^p-Konvergenz:

  • f_n\to f gleichmäßig \Rightarrow f_n \to f in L^\infty.
  • f_n\to f in L^\infty \Rightarrow f_n \to f in L^p für alle reellen 0<p<\infty.
  • f_n\to f in L^p \Rightarrow f_n \to f in L^q für alle reellen 0<q<p.
  • f_n\to f in L^p für 0<p\leq\infty\quad\Rightarrow f_n \to f dem Maße nach (bzw. stochastisch oder in Wahrscheinlichkeit).

Von der Konvergenz dem Maße nach gelangt man zur schwachen Konvergenz:

  • f_n\to f dem Maße nach \Rightarrow f_n \to f schwach (bzw. in Verteilung).

Wichtige Theoreme über Funktionenfolgen[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. J. Cigler, H.-C. Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978. ISBN 3-411-00121-6. S. 88, Aufgabe 6
  2. A.N. Kolmogorow und S.V. Fomin: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, 5.4.6, Definition 4.
  3. A.N. Kolmogorow und S.V. Fomin: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, 5.4.6, Satz 7.
  4. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, S 212.
  5. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 2.5.1.
  6. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. S. 93.
  7. a b Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 2.5.2.
  8. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 2.5.5.
  9. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 2.5.3.

Literatur[Bearbeiten]

  • Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Gebunden), ISBN 3-11-013625-2 (Broschiert), ab S.91 (§15 Konvergenzsätze) und ab S.128 (§20 Stochastische Konvergenz).
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2, (Beschreibt ausführlich die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Konvergenzarten).