Superposition (Mathematik)

Unter Superpositionseigenschaft versteht man in der Mathematik eine Grundeigenschaft homogener linearer Gleichungen, nach der alle Linearkombinationen von Lösungen der Gleichung weitere Lösungen der Gleichung ergeben. Mit Hilfe des verwandten Superpositionsprinzips lassen sich die Lösungen inhomogener linearer Gleichungen als Summe der Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darstellen. Das Superpositionsprinzip wird oft zur Lösung schwieriger linearer Gleichungen, wie etwa linearer Differentialgleichungen, eingesetzt, indem das Ausgangsproblem auf einfacher zu lösende Teilprobleme zurückgeführt wird.

Grundlagen

Lineare Gleichungen

Eine Bestimmungsgleichung in der Unbekannten $x\,$ heißt linear, wenn sie in die Form

$T(x)\;=\;b\,$

gebracht werden kann, wobei $T\,$ ein linearer Operator und die rechte Seite $b\,$ unabhängig von $x\,$ ist. Ein Operator $T\,$ heißt dabei linear, wenn für Konstanten $\lambda \,$ und $\mu \,$

$T\left(\lambda x+\mu y\right)\;=\;\lambda T\left(x\right)+\mu T\left(y\right)$

gilt. Eine lineare Gleichung heißt homogen, falls die rechte Seite gleich Null ist, also wenn sie die Form

$T(x)\;=\;0$

besitzt, ansonsten nennt man die Gleichung inhomogen. Homogene Gleichungen besitzen mindestens die triviale Lösung $x\;=\;0.\,$.

Beispiele

Die skalare lineare Gleichung

$3\cdot x_{1}+4\cdot x_{2}\;=\;0\,$

mit der Unbekannten $x=(x_{1},x_{2})\,$ ist homogen, während die Gleichung

$3\cdot x_{1}+4\cdot x_{2}\;=\;5\,$

inhomogen ist.

Superpositionseigenschaft

Sind ${\hat {x}}\,$ und ${\bar {x}}\,$ zwei Lösungen einer homogenen linearen Gleichung, dann lösen diese Gleichung auch alle Linearkombinationen $c{\hat {x}}+d{\bar {x}}\,$ der beiden Lösungen, da

$T(c{\hat {x}}+d{\bar {x}})\;=\;T(c{\hat {x}})+T(d{\bar {x}})\;=\;cT({\hat {x}})+dT({\bar {x}})\;=\;0+0\;=\;0.\,$

Beispiel

Die homogene Gleichung

$2\cdot x_{1}-3\cdot x_{2}\;=\;0\,$

wird beispielsweise durch die beiden Lösungen

$({\hat {x}}_{1}=3,{\hat {x}}_{2}=2)\,$ und $({\bar {x}}_{1}=6,{\bar {x}}_{2}=4)\,$

erfüllt. Damit sind auch

$({\hat {x}}_{1}+{\bar {x}}_{1},{\hat {x}}_{2}+{\bar {x}}_{2})\;=\;(9,6)\,$

und

$(4{\hat {x}}_{1}+3{\bar {x}}_{1},4{\hat {x}}_{2}+3{\bar {x}}_{2})\;=\;(30,20)\,$

Lösungen der Gleichung.

Superpositionsprinzip

Die Lösungen einer inhomogenen Gleichung lassen sich als Summe der Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darstellen. Sei ${\bar {x}}\,$ eine konkrete Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung und sei $y\,$ die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Problems, dann ist $y+{\bar {x}}\,$ die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung, da

$T(y+{\bar {x}})\;=\;T(y)+T({\bar {x}})\;=\;0+b\;=\;b\,$

gilt.

Beispiel

Eine konkrete Lösung der inhomogenen Gleichung

$x_{1}+2x_{2}\;=\;10\,$

ist

${\bar {x}}_{1}=4,{\bar {x}}_{2}\;=\;3\,$

Sind nun $y=(y_{1},y_{2})\,$ die Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung

$y_{1}+2y_{2}\;=\;0\,$,

also alle $y\,$ mit $y_{1}=-2y_{2}\,$, dann wird die inhomogene Gleichung allgemein gelöst durch

$x\;=\;y+{\bar {x}}\;=\;(y_{1}+{\bar {x}}_{1},y_{2}+{\bar {x}}_{2})\;=\;(-2y_{2}+4,y_{2}+3)\;=\;(4-2t,t+3)\,$    mit    $t\in \mathbb {R} .\,$

Anwendungen

Lineare Diophantische Gleichungen

Die Lösungen der linearen Diophantischen Gleichung $2x_{1}+3x_{2}=26$

→ Hauptartikel: Lineare Diophantische Gleichung

Bei linearen diophantischen Gleichungen ist die Unbekannte $x\,$ ein ganzzahliger Vektor für den

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\;\cdots \;+a_{n}x_{n}\;=\;b$

gelten soll, wobei $a_{1},\ldots ,a_{n}\,$ und $b\,$ ganzzahlige Koeffizienten sind. Die Lösungen linearer Diophantischer Gleichungen kann man dann durch Kombination der Lösung der homogenen Gleichung mit einer Partikulärlösung, die mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus gefunden werden kann, angeben.

Beispiel

Es sind ganzzahligen Lösungen $x=(x_{1},x_{2})\,$ der linearen Diophantischen Gleichung

$2x_{1}+3x_{2}\;=\;26\,$

gesucht. Die Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung

$2y_{1}+3y_{2}\;=\;0\,$

ergeben sich als

$y\;=\;(y_{1},y_{2})\;=\;(3t,-2t)\,$    mit    $t\in \mathbb {Z} \,$.

Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung ist hier

${\bar {x}}\;=\;(4,6)\,$

wodurch sich die Gesamtheit der Lösungen der inhomogenen Gleichung als

$x\;=\;y+{\bar {x}}\;=\;(3t,-2t)+(4,6)\;=\;(3t+4,-2t+6)\,$    mit    $t\in \mathbb {Z} \,$

ergibt.

Lineare Gleichungssysteme

→ Hauptartikel: Lineares Gleichungssystem

Bei linearen Gleichungssystemen ist die Unbekannte ein reeller Vektor $x\,$, für den

$A\cdot x\;=\;b\,$

gelten soll, wobei $A\,$ eine reelle Matrix und $b\,$ ein reeller Vektor passender Größe sind. Homogene sowie inhomogene lineare Gleichungssysteme können beispielsweise mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens gelöst werden.

Beispiel

Gesucht sei die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten

${\begin{pmatrix}1&2&3\\-1&2&5\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}\;=\;{\begin{pmatrix}10\\6\\\end{pmatrix}}\,$

Die Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems

${\begin{pmatrix}1&2&3\\-1&2&5\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\\end{pmatrix}}\;=\;{\begin{pmatrix}0\\0\\\end{pmatrix}}\,$

erhält man durch Addition bzw. Subtraktion der beiden Gleichungen, was $4y_{2}+8y_{3}=0\,$ und $2y_{1}-2y_{3}=0\,$ ergibt. Durch Setzen von $y_{1}=t\,$ mit freiem Parameter $t\in \mathbb {R} \,$ ergibt sich $y_{3}=t\,$ sowie $y_{2}=-2t\,$ und somit als Lösung

$y\;=\;{\begin{pmatrix}t\\-2t\\t\\\end{pmatrix}}\,$    mit    $t\in \mathbb {R} .\,$

Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung erhält man ebenfalls durch Addition der beiden Gleichungen zu $4x_{2}+8x_{3}=16\,$ und beispielsweise durch Wahl von ${\bar {x}}_{2}=0\,$, woraus ${\bar {x}}_{3}=2\,$ und, durch Einsetzen in die erste Gleichung, ${\bar {x}}_{1}=4\,$, also

${\bar {x}}\;=\;{\begin{pmatrix}4\\0\\2\\\end{pmatrix}}\,$

folgt. Daraus ergibt sich die allgemeine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems zu

$x\;=\;y+{\bar {x}}\;=\;{\begin{pmatrix}t\\-2t\\t\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}4\\0\\2\\\end{pmatrix}}\;=\;{\begin{pmatrix}t+4\\-2t\\t+2\\\end{pmatrix}}\,$    mit    $t\in \mathbb {R} .\,$

Lineare Differenzengleichungen

→ Hauptartikel: Lineare Differenzengleichung

Bei linearen Differenzengleichungen ist die Unbekannte $(x_{n})_{n}\,$ eine Folge, für die

$a_{0}(n)x_{n}+a_{1}(n)x_{n-1}+\;\cdots \;+a_{k}(n)x_{n-k}\;=\;b_{n}(n)$    für    $n\in \mathbb {N} ,n\geq k\,$

gelten soll, wobei $a_{0}(n),\ldots ,a_{k}(n)\,$ sowie $b_{n}(n)\,$ Koeffizienten sind. Die Lösung einer Differenzengleichung hängt von den Startwerten $x_{0},\ldots ,x_{k-1}\,$ ab. Homogene lineare Differenzengleichungen können mit Hilfe der zugehörigen charakteristischen Gleichung gelöst werden.

Beispiel

Die lineare Differenzengleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$x_{n}-2x_{n-1}\;=\;3$

ergibt für den Startwert $x_{0}=c\,$ die Folge $(2c+3,4c+9,8c+21,16c+45,\ldots )\,$. Um die explizite Lösungsdarstellung in Abhängigkeit vom Startwert zu finden, betrachtet man die zugehörige homogene Differenzengleichung

$y_{n}-2y_{n-1}\;=\;0$

deren Lösung für den Startwert $y_{0}=c\,$ die Folge $(2c,4c,8c,16c,\ldots )\,$, also

$y_{n}\;=\;c2^{n}$

ist. Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung ergibt sich durch die Wahl des Startwerts ${\bar {x}}_{0}=0\,$, was dann die Folge $(3,9,21,45,...)\,$ ergibt, für die

${\bar {x}}_{n}\;=\;3(2^{n}-1)$

gilt. Somit ergibt sich die explizite Lösung des inhomogenen Problems zu

$x_{n}\;=\;y_{n}+{\bar {x}}_{n}\;=\;c2^{n}+3(2^{n}-1)\;=\;(c+3)2^{n}-3.\,$

Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen

→ Hauptartikel: Lineare gewöhnliche Differentialgleichung

Bei linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen ist die Unbekannte eine Funktion $f\,$, für die

$a_{n}(x)f^{(n)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)\;=\;g(x)\,$

gelten soll, wobei $a_{0},\ldots ,a_{n}\,$ $g\,$ Koeffizientenfunktionen sind. Die Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung kann über das zugehörige Fundamentalsystem angegeben werden, eine Partikulärlösung kann beispielsweise mittels der Variation der Konstanten gefunden werden.

Beispiel

Gesucht ist die Lösung der inhomogenen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung

$f'(x)+xf(x)\;=\;(1+x)e^{x}\,$

Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung

$h'(x)+xh(x)\;=\;0\,$

ist gegeben durch

$h(x)\;=\;e^{-\int x\;dx}\;=\;ke^{-x^{2}/2}\,$

mit der Integrationskonstanten $k\in \mathbb {R} \,$. Um eine Partikulärlösung ${\bar {f}}\,$ zu ermitteln, verwendet den Lösungsansatz des homogenen Problems

${\bar {f}}(x)\;=\;c(x)e^{-x^{2}/2}$

und versucht die Konstante $c(x)\,$, die nun von $x\,$ abhängt, zu finden. Mittels der Produktregel erhält man für die Ableitung von ${\bar {f}}\,$

${\bar {f}}'(x)\;=\;c'(x)e^{-x^{2}/2}-c(x)xe^{-x^{2}/2}\,$

und durch Einsetzen in die Originalgleichung

${\bar {f}}'(x)+x{\bar {f}}(x)\;=\;c'(x)e^{-x^{2}/2}-c(x)xe^{-x^{2}/2}+c(x)xe^{-x^{2}/2}=c'(x)e^{-x^{2}/2}\;=\;(1+x)e^{x}\,$

und somit durch Integration

$c(x)\;=\;e^{x+x^{2}/2}\,$

wobei man Integrationskonstante zu Null setzen kann, da man an nur einer speziellen Lösung interessiert ist. Insgesamt erhält man so die Lösung des inhomogenen Problems als

$f(x)\;=\;h(x)+{\bar {f}}(x)\;=\;ke^{-x^{2}/2}+e^{x+x^{2}/2}e^{-x^{2}/2}\;=\;ke^{-x^{2}/2}+e^{x}.\,$

Durch Wahl einer Anfangsbedingung, beispielsweise $f(0)=k+1\,$, ist die Lösung dann eindeutig bestimmt.

Lineare partielle Differentialgleichungen

Bei linearen partiellen Differentialgleichungen ist die Unbekannte eine Funktion mehrerer Veränderlicher $f\,$, für die

$\sum _{\alpha _{1}=0}^{n}\cdots \sum _{\alpha _{m}=0}^{n}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f(x)}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{m}^{\alpha _{m}}}}\;=\;g(x)\,$

gelten soll, wobei $x=(x_{1},\ldots ,x_{m})$, $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m})$ und $a_{\alpha }(x)\,$ sowie $g(x)\,$ Koeffizientenfunktionen sind.

Beispiel

Gegeben sei die folgende Wärmeleitungsgleichung als Anfangs-Randwertproblem

$f_{t}-f_{xx}=\sin(\pi x)\,$

mit den Dirichlet-Randbedingungen $f(0,t)\;=\;f(1,t)\;=\;0\,$ und der Anfangsbedingung $f(x,0)\;=\;\sin(2\pi x)\,$. Die Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung

$h_{t}-h_{xx}\;=\;0\,$

mit gleichen Anfangs- und Randbedingungen erhält man mit Hilfe des Separationsansatzes

$h(x,t)\;=\;F(x)G(t)\,$

womit gilt

$h_{t}-h_{xx}\;=\;F(x)G'(t)-F''(x)G(t)\;=\;0\,$

und somit

${\frac {F(x)}{F''(x)}}={\frac {G(t)}{G'(t)}}.\,$

Nachdem nun die linke Seite der Gleichung nur von $x\,$ und die rechte Seite nur von $t\,$ abhängt, müssen beide Seiten gleich einer Konstanten $k\,$ sein. Also müssen für $F\,$ und $G\,$ die gewöhnlichen Differentialgleichungen

$F''(x)-kF(x)\;=\;0\,$     und     $G'(t)-kG(t)\;=\;0\,$

gelten, was für die gegebenen Anfangsbedingungen die Lösung

$h(x,t)\;=\;e^{-4\pi ^{2}t}\sin(2\pi x)\,$

ergibt. Mit dem gleichen Ansatz erhält man die Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung mit Null-Anfangsbedingung $f(x,0)\;=\;0\,$ als

${\bar {f}}(x,t)\;=\;\pi ^{-1}(1-e^{-\pi ^{2}t})\sin(\pi x),\,$

womit die Gesamtlösung durch

$f(x,t)\;=\;h(x,t)+{\bar {f}}(x,t)\;=e^{-4\pi ^{2}t}\sin(2\pi x)+\pi ^{-1}(1-e^{-\pi ^{2}t})\sin(\pi x).\,$

gegeben ist.

Siehe auch

• Superposition (Physik)

Literatur

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-34186-2. 
• Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-8274-1492-X. 
• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 7. Auflage. Vieweg, 2009, ISBN 3-528-66508-4. 
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2010, ISBN 3-540-76490-9. 
• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 17. Auflage. Vieweg Verlag, 2009, ISBN 3-8348-0996-9. 
• Jürgen Jost: Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen. 1. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-64222-6.