Diophantische Gleichung

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In der algebraischen Zahlentheorie ist eine diophantische Gleichung (benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophantos von Alexandria, um 250) eine Gleichung der Form f(x_1, x_2, x_3, \dotsc, x_n) = 0 (f Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten), bei der man sich nur für ganzzahlige Lösungen interessiert. Diese Einschränkung der Lösungsmenge ergibt einen Sinn, wenn Teilbarkeitsfragen beantwortet werden sollen, wenn es sich um Probleme der Kongruenzarithmetik handelt oder wenn bei Problemen in der Praxis nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll sind, z. B. die Stückzahlverteilung bei der Herstellung von mehreren Produkten.

Beispiele[Bearbeiten]

  • X^2 - Y = 0 besitzt als Lösung die Zahlenpaare (1,1), (-1,1), (2,4), (-2,4), (3,9), (-3,9), ... allgemein: (±n,n2).
  • X^4 + Y^2 + Z^{20} = -7 besitzt keine Lösung, da die linke Seite der Gleichung immer größergleich Null ist.
  • 3X = 4 besitzt keine Lösung, da bei diophantischen Gleichungen nur ganzzahlige Lösungen gesucht sind.

Lineare Diophantische Gleichung[Bearbeiten]

Diophantische Gleichungen, in denen keine Potenzen auftauchen, nennt man linear. Für sie gibt es Algorithmen, die immer (nach endlich vielen Schritten) alle Lösungen finden.

Berühmte Diophantische Gleichungen[Bearbeiten]

Pythagoreische Tripel[Bearbeiten]

Die ganzzahligen Lösungen von X^2 + Y^2 = Z^2 bilden die sogenannten Pythagoreischen Tripel. Man findet sie im Wesentlichen durch den Ansatz X = u^2 - v^2, Y = 2uv, Z= u^2 + v^2.

Fermats letzter Satz[Bearbeiten]

Wenn man obige Gleichung zu X^n + Y^n = Z^n verallgemeinert, erhält man eine diophantische Gleichung vom Grad n. Als Fermats letzten Satz bezeichnet man die von Pierre de Fermat vor 400 Jahren aufgestellte Behauptung, dass sie für n>2 keine ganzzahlige Lösung besitzt (außer den trivialen Lösungen, bei denen eine der Zahlen null ist), was erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen wurde.

Pellsche Gleichung[Bearbeiten]

Neben den linearen diophantischen Gleichungen ist die so genannte Pellsche Gleichung

x^2 - D y^2 = 1

besonders wichtig, wobei für ein gegebenes D das kleinste Wertepaar x,y zu suchen ist, aus dem sich alle anderen Paare leicht finden lassen. Wenn D eine Quadratzahl ist, ist diese Gleichung mit Ausnahme der trivialen Lösung y = 0 und x = \pm 1 niemals ganzzahlig lösbar. Die Auflösung der Pellschen Gleichung ist gleichbedeutend mit dem Aufsuchen der Einheiten in dem Ring der ganzen algebraischen Zahlen des Körpers, der aus dem rationalen Zahlenkörper durch Adjunktion der Quadratwurzel aus D entsteht.

Hilberts Zehntes Problem[Bearbeiten]

Im Jahr 1900 stellte David Hilbert das Problem der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung als zehntes Problem seiner berühmten Liste von 23 mathematischen Problemen vor. 1970 bewies Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch, dass die Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung unentscheidbar ist.

Literatur[Bearbeiten]

  • Yuri V. Matiyasevich: Hilbert's Tenth Problem (= Foundations of Computing). MIT Press, Cambridge MA u. a. 1993, ISBN 0-262-13295-8.