Satz von Sperner

Der Satz von Sperner ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher der diskreten Mathematik zugerechnet wird. Emanuel Sperner hat ihn, ausgehend von einer Anregung seines Doktorvaters Otto Schreier, im Jahre 1927 gefunden und im Jahre 1928 in der Mathematischen Zeitschrift veröffentlicht. Der Satz behandelt den engen Zusammenhang zwischen den Antiketten der Potenzmenge einer endlichen Menge und den sogenannten Binomialkoeffizienten. Er wurde zum Ausgangspunkt eines Zweiges der diskreten Mathematik, der sogenannten Spernertheorie (englisch Sperner theory).

Zum Satz von Sperner gibt es verschiedene Beweise und eine große Anzahl von verwandten Resultaten. Einen guten Eindruck davon verschaffen die Monographien von Anderson, von Engel und von Jukna (siehe Literatur).

Für die Darstellung des Satzes gibt es mehrere gleichwertige Möglichkeiten.

Der Satz in drei Versionen

Gegeben sei eine endliche Grundmenge $X\,$ mit $n\,$ Elementen, wobei eine natürliche Zahl $n\,$ zugrunde gelegt ist.

Dann gilt:

Erste Version

Die Mächtigkeit einer jeden Antikette der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ ist stets kleiner oder gleich dem größten Binomialkoeffizienten der Ordnung $n\,$.

Der Begriff der Antikette bezieht sich hierbei auf die zwischen den Teilmengen der Grundmenge $X\,$ bestehende Inklusionsrelation.

Zweite Version

Man kann in einer $n\,$ - elementigen Menge $X\,$ niemals mehr als ${\tbinom {n}{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }}$ Teilmengen finden, welche der Forderung genügen, dass keine zwei dieser Teilmengen einander echt umfassen.

Dritte Version

$\max\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\ \mathrm {Antikette} \}={\binom {n}{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }}$

In Worten: Für die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ einer $n\,$ - elementigen Menge $X\,$ ist die Sperner-Zahl oder Breite $w={\binom {n}{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }}$ .

In diese formale Darstellung geht ein, dass die $\lfloor {\tfrac {n}{2}}\rfloor$ -elementigen Teilmengen von $X\,$ stets eine Antikette von ${\mathcal {P}}(X)$ bilden.

Der Extremalfall

Emanuel Sperner ist in seinem 1928-er Artikel auch der Frage nachgegangen, welche Teilmengensysteme von $X$ den Maximalwert ${\tbinom {n}{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }}$ annehmen, und hat folgende umfassende Antwort gegeben:

Ist $n$ eine gerade Zahl , so gibt es stets genau eine Möglichkeit, nämlich das Mengensystem der $n/2\,$-elementigen Teilmengen von $X$.

Ist $n$ eine ungerade Zahl , so gibt es stets genau zwei Möglichkeiten, nämlich einerseits das Mengensystem der $(n-1)/2\,$-elementigen Teilmengen von $X$ und andererseits das Mengensystem der $(n+1)/2\,$-elementigen Teilmengen von $X\,$.

Verwandte Resultate

• Satz von Dilworth
• Lubell-Yamamoto-Meshalkin-Ungleichung
• Satz von Erdös-Ko-Rado

Literatur

Originalarbeiten

• Hans-Joachim Burscheid: Über die Breite des endlichen kardinalen Produktes von endlichen Ketten. Math. Nachr. 52 (1972): 283–295. MR

• Hans-Josef Scholz: Über die Kombinatorik der endlichen Potenzmengen im Zusammenhang mit dem Satz von Sperner. Dissertation, Universität Düsseldorf (1987).

• Emanuel Sperner: Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge. Math. Z. 27 (1928): 544–548. MR

Monographien

• Martin Aigner: Kombinatorik II: Matroide und Transversaltheorie. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1976, ISBN 3-540-07949-1. 

• Martin Aigner: Combinatorial Theory. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1979, ISBN 3-540-90376-3. 

• Martin Aigner: Diskrete Mathematik. 6. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8. 

• Ian Anderson: Combinatorics of Finite Sets. Clarendon Press, Oxford 1987, ISBN 0-19-853367-5. 

• Konrad Engel: Sperner Theory. Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 1997, ISBN 0-521-45206-6. 

• Egbert Harzheim: Ordered Sets. Springer, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8. 

• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan: Combinatorics: The Rota Way. Cambridge University Press, Cambridge (u. a) 2009, ISBN 978-0-521-73794-4. 

• Konrad Jacobs, Dieter Jungnickel: Einführung in die Kombinatorik. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin (u. a.) 2004, ISBN 3-11-016727-1. 

• Dieter Jungnickel: Transversaltheorie. Akad. Verl.-Ges. Geest & Portig, Leipzig 1982. 

• Stasys Jukna: Extremal Combinatorics. Springer-Verlag, Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17363-9. 

Weblinks

• [1] Link ins englische WIKIPEDIA zu "Sperner family"
• [2] Link zu "Lectures on extremal set systems and two-colorings of hypergraphs" von Gy. Károlyi
• [3] Kombinatorische Methoden in der Informatik (Skript einer Vorlesung von Prof. Dr. Peter Hauck, Uni Tübingen, SS 2008)