Potenzmenge

Die Potenzmenge von {x, y, z}, dargestellt als Hasse-Diagramm.

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Man notiert die Potenzmenge einer Menge $X$ meist als $\mathcal P(X)$. Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenzoperation anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.

Definition

Die Potenzmenge $\mathcal P(X)$ einer Menge $X$ ist eine neue Menge, die aus allen Teilmengen $U$ von $X$ besteht. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. In Formelschreibweise lautet die Definition einer Potenzmenge

$\mathcal P(X) := \{ U \mid U \subseteq X \}$.

Dabei ist zu beachten, dass sowohl die leere Menge $\emptyset$, als auch die Menge $X$ selbst Teilmengen von $X$ sind. Andere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind $\mathfrak p(X),\ 2^X,\ \mathrm{Pot}(X),\ \Pi(X),\ \wp(X)$ und $\mathfrak P(X)$.

Beispiele

• $\mathcal P(\emptyset) = \{ \emptyset \}$

• $\mathcal P(\{ a \}) = \bigl\{ \emptyset, \{ a \} \bigr\}$

• $\mathcal P(\{ a, b \}) = \bigl\{ \emptyset, \{ a \}, \{ b \}, \{ a, b \} \bigr\}$

• $\mathcal P(\{ a, b, c \}) = \bigl\{ \emptyset, \{ a \}, \{ b \}, \{ c \}, \{ a, b \}, \{ a, c \}, \{ b, c \}, \{ a, b, c \} \bigr\}$

• $\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \bigl\{ \emptyset, \{\emptyset\}\bigr\}$

Strukturen auf der Potenzmenge

Partielle Ordnung

Die Inklusionsrelation $\subseteq$ ist eine Halbordnung auf $\mathcal P(X)$ (und keine Totalordnung, wenn $X$ mindestens zwei Elemente hat). Das kleinste Element der Ordnung ist $\emptyset$, das größte Element ist $X$.

Vollständiger Verband

Die Halbordnung $(\mathcal P(X), \subseteq)$ ist ein vollständiger Verband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von $\mathcal P(X)$ ein Infimum und ein Supremum (in $\mathcal P(X)$) gibt. Konkret ist für eine Menge $T \subseteq \mathcal P(X)$ das Infimum von $T$ gleich dem Durchschnitt der Elemente von $T$, und das Supremum von $T$ ist gleich der Vereinigung der Elemente von $T$, also

$\inf(T) = \bigcap_{M \in T} M\quad\text{ und }\quad\mathrm{sup}(T) = \bigcup_{M \in T} M.$

Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also

$\inf(\emptyset) = X\quad\text{ und }\quad\sup(\emptyset) = \emptyset.$

Boolescher Verband

Zieht man noch die Komplementabbildung ${}^\mathrm{c} : \mathcal P(X) \rightarrow \mathcal P(X)$ heran, ist $(\mathcal P(X), \cap, \cup, ^\mathrm{c}, \emptyset, X)$ ein boolescher Verband, also ein distributiver und komplementärer Verband.

Kommutativer Ring

Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf $\mathcal P(X)$ ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und $X$ ist neutral für die Multiplikation.

Charakteristische Funktionen

Jeder Teilmenge $T \subseteq X$ kann man die charakteristische Funktion $\chi_T \colon X \to \{0,1\}$ zuordnen, wobei gilt

$\chi_T(x) := \begin{cases} 1,& x \in T\\ 0,& x \not\in T \end{cases}$

Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen $\mathcal P(X)$ und $\{0, 1\}^X$ (wobei die Notation $B^A$ für die Menge aller Funktionen von $A$ nach $B$ benutzt wird). Dies motiviert für $\mathcal P(X)$ auch die Schreibweise $2^X$, denn im von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist $2 = \{0, 1\}$ (allgemein: $n = \{0, ..., n-1\}$).

Die Korrespondenz $\mathcal P(X) \cong \{0, 1\}^X$ ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.

Die Größe der Potenzmenge (Kardinalität)

$|M|$ bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge $M$.

• Für endliche Mengen $X$ gilt: $|\mathcal P(X)| = 2^{|X|}$.

• Stets gilt der Satz von Cantor: $|X| < |\mathcal P(X)|$.

Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Analog zu endlichen Mengen schreibt man auch $2^{|X|}$ für die Mächtigkeit $|\mathcal P(X)| = \left|2^X\right|$ der Potenzmenge einer unendlichen Menge $X$. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt für unendliche Mengen $X$, dass $|\mathcal P(X)|$ die nach $|X|$ nächstgrößere Mächtigkeit ist:

$|X| < |Y| \implies |\mathcal P(X)| \leq |Y|.$

Beschränkung auf kleinere Teilmengen

Mit $\mathcal P_\kappa(X) = \{ U \subseteq X : |U| < \kappa \}$ wird die Menge derjenigen Teilmengen von $X$ bezeichnet, die weniger als $\kappa$ Elemente enthalten. Beispielsweise ist $\mathcal P_3(\{a,b,c\}) = \{ \emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}$: Die Menge $\{a,b,c\}$ selbst fehlt, da sie nicht weniger als $3$ Elemente hat.

Sonstiges

• Die Existenz der Potenzmenge zu jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.
• Ein Mengensystem wie beispielsweise eine Topologie oder eine σ-Algebra über einer Grundmenge $X$ ist eine Teilmenge der Potenzmenge $\mathcal{P}(X)$, also ein Element von $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$.

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Weblinks

 Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien