Abbesche Zahl

Im Abbe-Diagramm ist die Abbe-Zahl gegen den Brechungsindex aufgetragen.

Die abbesche Zahl (oder Abbe-Zahl, Formelzeichen: V) ist eine in der Optik gebrauchte dimensionslose Größe für die Dispersion eines transparenten Mediums. Je kleiner die abbesche Zahl, desto größer ist die Dispersion. Die abbesche Zahl ist nach dem deutschen Physiker Ernst Abbe (1840–1905) benannt.

Grundlagen

Optische Dispersion bedeutet, dass die Brechung des Lichts von der Wellenlänge (und somit von der Farbe) abhängig ist. Die Aufspaltung eines weißen Lichtstrahls, der auf die Kante eines Prismas trifft, in ein farbiges Spektrum liegt an der Dispersion. Dispersion begleitet aber grundsätzlich jede Lichtbrechung. Dispersion tritt auch dort auf, wo ein Lichtstrahl, der aus Licht mehrerer Wellenlängen besteht, auf einen Punkt abgebildet werden soll. Die Abbildung auf einen Punkt wiederum ist eine zentrale Bedingung für eine scharfe Abbildung durch ein optisches System wie zum Beispiel eine Linse oder ein Objektiv. In unterschiedlichem Umfang zeigt sich daher auch bei Linsenoptiken ein durch die Dispersion verursachter farbiger Rand rund um Bilder lichtstarker Objekte. Dieser Abbildungsfehler heißt chromatische Aberration.

Für eine vollständige Beschreibung der Dispersion eines Materials (z. B. einer Glassorte) müsste man angeben, wie sich der Brechungsindex n des Materials bei Variation der Wellenlänge $\lambda$ des Lichts ändert. Es müsste daher eine die komplette Funktion $n(\lambda)$ angegeben werden. Diesen Zweck erfüllen Angaben nach den Cauchy- und die Sellmeier-Gleichungen. Für einfache Berechnungen ist es jedoch oft ausreichend, die Dispersion im Bereich des sichtbaren Lichts allein mit der abbeschen Zahl zu beschreiben.

Definition

Wellenlänge λ in nm	Fraunhofer-Linie	Lichtquelle	Farbe
365,0146	i	Hg	UV
404,6561	h	Hg	violett
435,8343	g	Hg	blau
479,9914	F'	Cd	blau
486,1327	F	H	blau
546,0740	e	Hg	grün
587,5618	d	He	gelb
589,2938	D	Na	gelb
643,8469	C'	Cd	rot
656,2725	C	H	rot
706,5188	r	He	rot
768,2	A'	K	rot
852,11	s	Cs	IR
1013,98	t	Hg	IR

Die abbesche Zahl V ist als

$V = \frac{n_{\rm d} - 1}{n_{\rm F} - n_{\rm C}}$

oder neu:

$V = \frac{n_{\rm e} - 1}{n_{\rm F'} - n_{\rm C'}}$

definiert, wobei n_d (bzw. n_e), n_F' und n_C' der Brechungsindex des Materials bei den Wellenlängen der

[ALT] d-, F- und C-Fraunhoferlinien (587,6 nm, 486,1 nm und 656,3 nm) bzw.

[NEU] e-, F'- und C'-Fraunhoferlinien (546,07 nm, 479,99 nm und 643,85 nm) sind,

wie in der nebenstehenden Tabelle aufgeführt.

Ein Material mit geringer Dispersion hat eine hohe abbesche Zahl. Der reziproke Wert der abbeschen Zahl wird auch als relative Dispersion bezeichnet.

Typische Zahlenwerte reichen bei den am häufigsten verwendeten Glassorten von 20 (Flintglas) bis 60 (Kronglas). Die Grenze für die Bezeichnung Flintglas und Kronglas liegt bei einer Abbe-Zahl von 50. Spezielle Glassorten (Fluorit-Kronglas) haben abbesche Zahlen um 85. Magnesiumfluorid erreicht sogar eine abbesche Zahl von 95, zeichnet sich also durch besonders geringe Dispersion aus.

Die Tabelle führt Standard-Wellenlängen auf, bei denen der Brechungsindex gewöhnlich bestimmt wird, was durch tiefgestellte Buchstaben angezeigt ist. Zum Beispiel wird n_D bei einer Wellenlänge von 589,3 nm gemessen.

Anwendung

Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf die abbesche Zahl eines speziellen Basisglases. ().

Die abbesche Zahl ist für den Entwurf von Achromaten von Bedeutung. Dies sind Linsensysteme, bei denen der Abbildungsfehler durch chromatische Aberration besonders klein ist. So hat beispielsweise ein aus zwei dünnen benachbarten Linsen bestehender Achromat für die Fraunhoferschen Linien F und C die gleiche Brennweite, wenn

$V_1 \, f_1 + V_2 \, f_2 = 0$

ist, wobei $V_i$ die abbeschen Zahlen und $f_i$ die Brennweiten der beiden Linsen des Achromaten sind. Ein solches Linsensystem bildet blaues und rotes Licht der Wellenlängen 468 nm (F) und 657 nm (C) auf den gleichen Punkt ab. Der verbleibende Farbfehler ist deutlich geringer als wenn nur eine Glassorte verwendet worden wäre (meist äußert sie sich in einem violetten Saum um helle Objekte). Achromaten waren die Grundlage für den Bau großer Linsenfernrohre im 19. Jahrhundert.

Um den Farbfehler noch weiter zu reduzieren, muss der Brechungsindex bei mehr als zwei Wellenlängen berücksichtigt werden. Trotzdem hilft auch hier die abbesche Zahl, um Glassorten grob zu klassifizieren.

Im Bereich von Infrarot und Ultraviolett ist die abbesche Zahl, die ja für Wellenlängen im Bereich des sichtbaren Lichts definiert ist, ungeeignet.

Einzelnachweise

 Wiktionary: Abbesche Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen