Alternierende Reihe

Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, bei der die Reihenglieder abwechselnd positiv und negativ sind, das heißt eine Reihe der Form:

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}$   oder   $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}$

wobei die $a_{k}$ positive reelle Zahlen sind. Oft wird zusätzlich gefordert, dass die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ monoton fallend ist.

Ein einfaches Beispiel einer alternierenden Reihe ist die alternierende harmonische Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+-\ldots =\ln 2$

im Gegensatz zur harmonischen Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots \to \infty$,

bei der das Vorzeichen der Reihenglieder nicht wechselt. Die wahrscheinlich bekanntesten alternierenden Reihen sind die Reihenentwicklungen des Sinus und Kosinus:

$\sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+-\ldots$

$\cos(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+-\ldots$

Zur Untersuchung der Konvergenz dieser Reihen kann das Leibniz-Kriterium herangezogen werden.