Begleitmatrix

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Die Begleitmatrix bezeichnet einen Begriff aus der Linearen Algebra.

Definition[Bearbeiten]

Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms n-ten Grades   f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 über einem Körper ist die quadratische n \times n-Matrix[1]

A(f) = \begin{pmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & \ddots & \vdots & -a_2 \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\
0 & \dots & 0 & 1 & -a_{n-1} \\
\end{pmatrix}.

Manchmal wird auch die Transponierte Matrix von A(f) verwendet, was aber nichts Wesentliches ändert. Man nennt diese spezielle Form der Matrix dann auch Kardinalform.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von A(f) ist gerade f.

Hat das Polynom f genau n verschiedene Nullstellen \lambda_1, \dots, \lambda_n, dann ist A(f) diagonalisierbar: V A(f) V^{-1} = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) für die Vandermonde-Matrix V = V(\lambda_1, \dots, \lambda_n).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, Berlin 2003, ISBN 3-11-017963-6, S. 349.