Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum
(
Ω
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}
auf einen anderen Raum
(
Ω
′
,
Σ
′
)
{\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}
zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion
g
:
Ω
→
Ω
′
{\displaystyle g\colon \Omega \to \Omega '}
den Mengen in
Σ
′
{\displaystyle \Sigma '}
Werte zugeordnet. Das so auf
Ω
′
{\displaystyle \Omega '}
definierte Maß ist das Bildmaß.
Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen .
Definition
Es sei
(
Ω
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}
ein Maßraum und
g
:
Ω
→
Ω
′
{\displaystyle g\colon \Omega \to \Omega '}
eine
Σ
-
Σ
′
{\displaystyle \Sigma {\text{-}}\Sigma '}
-messbare Funktion in einem Messraum
(
Ω
′
,
Σ
′
)
{\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}
.
Dann ist
μ
′
:=
μ
∘
g
−
1
:
Σ
′
→
[
0
,
∞
]
,
Σ
′
∋
A
′
↦
μ
(
g
−
1
(
A
′
)
)
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu ':=\mu \circ g^{-1}\colon \Sigma '\to [0,\infty ],\quad \Sigma '\ni A'\mapsto \mu (g^{-1}(A'))\in [0,\infty ]}
ein Maß auf
(
Ω
′
,
Σ
′
)
{\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}
, das Bildmaß
μ
′
{\displaystyle \mu '}
von
μ
{\displaystyle \mu }
bezüglich
g
{\displaystyle g}
. Dabei bezeichnet
g
−
1
(
A
′
)
{\displaystyle g^{-1}(A')}
das Urbild von
A
′
∈
Σ
′
{\displaystyle A'\in \Sigma '}
.
Anwendungsbeispiel
Für eine messbare Funktion
f
:
Ω
′
→
R
¯
{\displaystyle f\colon \Omega '\to {\overline {\mathbb {R} }}}
(wobei
R
¯
:=
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}
die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen
A
⊆
Ω
′
{\displaystyle A\subseteq \Omega '\;}
:
∫
g
−
1
(
A
)
f
∘
g
d
μ
=
∫
A
f
d
(
μ
∘
g
−
1
)
{\displaystyle \int _{g^{-1}(A)}f\circ g\;\mathrm {d} \mu =\int _{A}f\;\mathrm {d} (\mu \circ g^{-1})}
,
wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.[1]
Quellen
↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3 . Theorem 1.6.12.