Borel-Cantelli-Lemma

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Das Borel-Cantelli-Lemma (nach Émile Borel und Francesco Cantelli) ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es ist oftmals hilfreich bei der Untersuchung auf fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen und wird daher für den Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen verwendet. Eine weitere, veranschaulichende Anwendung des Lemmas ist das Infinite-Monkey-Theorem. Das Lemma besteht aus zwei Teilen, wobei der „klassische“ Satz von Borel-Cantelli nur den ersten Teil enthält. Der zweite ist eine Erweiterung und stammt von Paul Erdős und Alfréd Rényi.

Aussage des Lemmas[Bearbeiten]

Formulierung[Bearbeiten]

Es sei  (A_n)_{n \in N} eine unendliche Folge zufälliger Ereignisse. Dann besagt das Borel-Cantelli-Lemma[1]

  1. Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der  A_n endlich, so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der  A_n gleich 0.
  2. Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der  A_n unendlich und sind die Ereignisse  A_n wenigstens paarweise unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der  A_n gleich 1.

Da die Aussage von der Form ist, dass die Wahrscheinlichkeit einer Menge, hier des limes superior, entweder 0 oder 1 ist, zählt das Borel-Cantelli-Lemma zu den 0-1-Gesetzen.

Formale Aussage[Bearbeiten]

Symbolisch: Für

 A = \limsup A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=n}^{\infty}A_i = 
\{A_n \rm{\,\,unendlich\,\, oft} \}
 = \{ \omega \in \Omega: \omega \in A_n \rm{\,\,f\ddot{u}r\,\, unendlich\,\, viele\,\,} n \in \mathbb{N}\}

gilt:

  1.  \sum_{n \geq 1} P(A_n) < \infty \Rightarrow P(A)=0
  2.  \sum_{n \geq 1} P(A_n) = \infty und die  A_n sind paarweise unabhängig  \Rightarrow P(A)=1

Zum Beweis[Bearbeiten]

Die klassische Aussage 1. kann so bewiesen werden: Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ereignis  A_k mit  k \ge n eintritt, ist nicht größer als  \sum_{k=n}^\infty P(A_k) und strebt wegen der vorausgesetzten Konvergenz der Summe gegen 0 für  n \to \infty . Der limes superior der  A_n ist das Ereignis, dass unendlich viele  A_n eintreten, und ist ein Teilereignis von jedem der im vorigen Satz erwähnten Ereignisse, und seine Wahrscheinlichkeit ist somit nicht größer als sämtliche Glieder einer Nullfolge, also 0, was zu beweisen war.

Anwendung[Bearbeiten]

Aus dem Lemma von Borel-Cantelli ergibt sich folgendes nützliche Kriterium für die fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen:

Sei X eine Zufallsvariable und (X_n)_{n \in \mathbb{N}} eine Folge von Zufallsvariablen über einem gewissen Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\mathcal{F},P).

Wenn  \sum_{n=1}^\infty P( | X_n - X | > \varepsilon ) < \infty für jedes \varepsilon > 0, dann gilt X_n \rightarrow X fast sicher.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie, Gruyter, 5. Auflage, ISBN 3110172364, Lemma 11.1