Carleman-Ungleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Carleman-Ungleichung, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Torsten Carleman, ist eine elementare Ungleichung der Analysis. Sie besagt, dass eine Reihe geometrischer Mittel einer Folge (a_k)_k durch ein konstantes Vielfaches der Reihe \sum a_k von oben beschränkt ist. Genauer besagt sie, dass die eulersche Zahl e die kleinste Konstante ist, die als Vielfaches diese Schranke erfüllt.

Die Carleman-Ungleichung wurde erstmals 1923 von Torsten Carleman publiziert.

Satz[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Sei (a_k)_k = (a_1, a_2, a_3, \ldots) eine Folge reeller, nicht-negativer Zahlen. Bezeichne e die eulersche Zahl e \approx 2,71828\ldots. Dann gilt:


\sum_{k=1}^\infty \sqrt[k]{(a_1 a_2 \ldots a_k)} \leq e \cdot \sum_{k=1}^\infty a_k ~ \,
.

Dabei ist e die kleinste Zahl, die diese Aussage erfüllt.

Beweis[Bearbeiten]

Wegen  \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} ist \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{n(n+1)}
=\frac{1}{k} \quad (Teleskopsumme)

und aus \frac{1}{e^n}<\prod_{k=1}^n \left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\prod_{k=1}^n \frac{(k+1) k^k}{(k+1)^{k+1}}
=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!}{(n+1)^n} folgt  \frac{1}{e}<\frac{\sqrt[n]{n!}}{n+1}

\sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{n(n+1)} k\, a_k
=\sum_{1\le k\le n}\frac{1}{n(n+1)} k\, a_k=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}\; \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k\, a_k und das ist nach der AM-GM-Ungleichung

\ge \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (k\,a_k)}
=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[n]{n!}}{n+1} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k}\ge\frac{1}{e}
\sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{a_1\cdots a_n} \qquad \Box

Varianten[Bearbeiten]

Für eine Funktion f mit f \not\equiv 0 gilt folgende kontinuierliche Variante der Carleman-Ungleichung:


\int_0^\infty \exp\left(\frac{1}{x} \int_0^x \ln f(t) dt\right) dx < e \cdot \int_0^\infty f(x) dx \,
.

Literatur[Bearbeiten]