Conway-Folge

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Die Conway-Folge ist eine nach dem britischen Mathematiker John Horton Conway benannte mathematische Folge. Sie wurde erstmals 1986 von John Conway publiziert. (Lit.: Conway, 1986).

Die Conway-Folge findet man sehr oft als Knobelaufgabe wieder. Dabei werden meistens die ersten paar Folgenglieder offengelegt und der Rätselkandidat aufgefordert, die Folge fortzusetzen. Auf Grund der recht ungewöhnlichen Definition der Folge hat dies einiges Potential zum Kopfzerbrechen.

Definition[Bearbeiten]

Die Glieder der Folge werden auf eine für die Mathematik recht kuriose Art und Weise rekursiv definiert. Die Glieder sind hierbei nicht im eigentlichen Sinn als Zahlen im Dezimalsystem anzusehen, sondern lediglich als Ziffernfolgen, aus deren Beschreibung jeweils die Nachfolgerziffernfolge bestimmt wird. Startwert ist stets eine positive natürliche Zahl d (beziehungsweise eine beliebige Ziffernfolge), üblicherweise d = 1. Zur Bestimmung des Folgegliedes bestimmt man die maximale Länge der Blöcke gleicher Ziffern in der Vorgängerzahl und schreibt die Häufigkeit und Ziffer für jeden Block hintereinander. Die so geschriebene Zahl ist das nächste Folgenglied. Sofern im Startwert keine andere Ziffer enthalten ist oder eine hinreichend lange Folge gleicher Ziffern (zum Beispiel 11111) vorkommt, bestehen alle Glieder der Conway-Folge nur aus den Ziffern 1, 2 und 3.

Veranschaulichung der Definition für d = 1[Bearbeiten]

n Vorgänger n-tes Folgeglied
1 --- 1
2 eine Eins 11
3 zwei Einsen 21
4 eine Zwei, eine Eins 1211
5 eine Eins, eine Zwei, zwei Einsen 111221
6 drei Einsen, zwei Zweien, eine Eins 312211
usw.

Conway-Folge für verschiedene Anfangswerte[Bearbeiten]

d Reihe OEIS-Link
1 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ... Folge A005150 in OEIS
2 2, 12, 1112, 3112, 132112, 1113122112, 311311222112, ... Folge A006751 in OEIS
3 3, 13, 1113, 3113, 132113, 1113122113, 311311222113, ... Folge A006715 in OEIS

Mathematische Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die Länge der Folge divergiert für alle Startwerte d mit Ausnahme der 22 gegen \infty und wächst sehr schnell. Die Dezimaldarstellung des 70. Folgengliedes für d=1 hat bereits 179.691.598 Stellen. Asymptotisch wächst die Länge der Folgenglieder mit der Geschwindigkeit \Theta(\lambda^n). Hierbei bezeichnet \lambda \approx 1{,}303577\ldots die so genannte Conway-Konstante.
  • Für d=22 hingegen sind alle Glieder der Folge identisch, sie ist also stationär.
  • Für d=1 (und viele andere Werte) enthält die Folge stets nur die Ziffern 1, 2 und 3, wobei niemals die Ziffernfolge ...333... vorkommt.

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]