Zahl

Übersicht über einige gängige Zahlbereiche. $A\subset B$ bedeutet, dass jedes Element des Zahlbereiches A oftmals auch als Element des Zahlbereiches B aufgefasst wird. Echte Klassen sind in blau markiert.

Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte, also Objekte unseres Denkens, die in der Empirie mittels Messungen, z. B. mittels einer Zählung, auf Beobachtungen bezogen werden. In der Mathematik wird der Begriff der Zahl für sehr verschiedenartige Konzepte verwendet, die sich historisch als Verallgemeinerungen bestehender Zahlenkonzepte entwickelt haben, sodass sie ebenfalls als Zahlen bezeichnet werden.

Vom Begriff der Zahl abzugrenzen sind Ziffern (Zahlzeichen, zur Darstellung bestimmter Zahlen verwendete Schriftzeichen), Zahlendarstellungen (Darstellung von Zahlen z.B. mit Hilfe von Ziffern unter Verwendung bestimmter Regeln), Zahlwörter (Numerale, zur Benennung bestimmter Zahlen verwendete Wörter) und Nummern (Identifikatoren, die selbst Zahlen, oder aber – in der Regel Ziffern enthaltende – Zeichenketten sein können).

Etymologie

Das deutsche Wort „Zahl“ entwickelte sich aus dem althochdeutschen Wort zala, welches „eingekerbtes Merkzeichen“ bedeutet. Eng verwandt sind die Begriffe zählen und Anzahl.

Verknüpfungen von Zahlen

Die Mathematik untersucht Beziehungen zwischen mathematischen Objekten und beweist strukturelle Eigenschaften in diesen Beziehungen. Elementare Beispiele für zwischen Zahlen definierte Beziehungen sind die allgemein bekannten Rechenoperationen (Grundrechenarten) über den rationalen Zahlen (Brüche), Vergleiche („kleiner“, „größer“, „größer gleich“ etc.) zwischen rationalen Zahlen, die Teilbarkeitsrelation zwischen ganzen Zahlen („3 ist ein Teiler von 9“). Zudem werden Prädikate über bestimmten Zahlen definiert (z. B. „die ganze Zahl 5 ist eine Primzahl“).

Solche Verknüpfungen sind nicht als vom Zahlbegriff unabhängige willkürliche Operationen zu verstehen, viel mehr werden bestimmte Zahlbereiche meist untrennbar von bestimmten Verknüpfungen betrachtet, da diese die zu untersuchende Struktur maßgeblich bestimmen. Spricht man etwa über die natürlichen Zahlen, gebraucht man fast immer zumindest auch ihre Ordnung („1 < 5“, „12 < 19“), welche maßgeblich unseren Begriff von natürlichen Zahlen bestimmt.

In der Schulmathematik, der Informatik und der numerischen Mathematik befasst man sich mit Verfahren, um solche Verknüpfungen auf konkreten Darstellungen von Zahlen auszuwerten (Rechnen).

In der abstrakten Algebra befasst man sich mit der Struktur von Verallgemeinerungen solcher Zahlbereiche, wobei nur noch das Vorhandensein von Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften über einer beliebigen Menge von Objekten vorausgesetzt wird (siehe algebraische Struktur). Ihre Resultate lassen sich auf konkrete Zahlbereiche anwenden, welche wiederum in der abstrakten Algebra als Motivation und elementare Beispiele dienen können.

In der Mathematik werden solche Verknüpfungen als Prädikate, Funktionssymbole oder Relationen, einschließlich Funktionen, aufgefasst.

Definition von Zahlen

Der Begriff der Zahl ist nicht mathematisch definiert. Die Mathematik spricht, wenn sie sich mit Zahlen befasst, stets über bestimmte wohldefinierte Zahlbereiche, d. h. nur über bestimmte Objekte unseres Denkens mit festgelegten Eigenschaften. Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts werden in der Mathematik Zahlen rein mittels der Logik unabhängig von Vorstellungen von Raum und Zeit definiert. Grundsteine wurden hier von Richard Dedekind und Giuseppe Peano mit der Axiomatisierung der natürlichen Zahlen (s. Peano-Axiome) gelegt. Dedekind schreibt zu diesem neuen Ansatz:

„Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden. So einleuchtend diese Forderung erscheint, so ist sie doch, wie ich glaube, selbst bei der Begründung der einfachsten Wissenschaft, nämlich desjenigen Theiles der Logik, welcher die Lehre von den Zahlen behandelt, auch nach den neuesten Darstellungen noch keineswegs als erfüllt anzusehen. […] die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen.“

– Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? S. 7-8

Zu unterscheiden sind axiomatische Definitionen von mengentheoretischen Definitionen von Zahlen: Im ersteren Fall wird die Existenz gewisser Objekte mit auf ihnen definierten Verknüpfungen mit bestimmten Eigenschaften in Form von Axiomen postuliert, so etwa auch bei den frühen Axiomatisierungen der natürlichen und der reellen Zahlen durch Peano und Dedekind. Nach dem Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski ist eine solche Axiomatisierung in Prädikatenlogik erster Stufe nicht eindeutig bis auf Isomorphie möglich (so verwenden die Peano-Axiome Prädikatenlogik zweiter Stufe, während die Formulierung in Prädikatenlogik erster Stufe, die Peano-Arithmetik, Nichtstandard-Modelle zulässt). Mit Georg Cantor ging man dazu über, zu versuchen, sich auf mengentheoretische Axiome zu beschränken, wie es in der Mathematik heute etwa mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre üblich ist. Die Existenz gewisser Zahlenmengen und Verknüpfungen über ihnen mit gewissen Eigenschaften wird dann aus diesen Axiomen gefolgert. Mitunter wird ein Zahlbereich als eine bestimmte Klasse definiert. Innerhalb der Mengenlehre ist es nun mitunter möglich, die Zahlen nur mittels der Prädikatenlogik erster Stufe bis auf Isomorphie eindeutig zu definieren, wobei hier jedoch die Isomorphie als mengentheoretischer Begriff Teil der Objektsprache ist, metasprachlich haben mit verschiedenen Modellen der Mengenlehre auch Zahlenmengen verschiedene mögliche Interpretationen.

Ein elementares Beispiel einer mengentheoretischen Definition einer Menge von Zahlen ist die von John von Neumann eingeführte Definition der natürlichen Zahlen.

Als mengentheoretische Konzepte werden Ordinal- und Kardinalzahlen in aller Regel mengentheoretisch definiert, ebenso die Verallgemeinerung der surrealen Zahlen.

Zahlbereiche

Einige wichtige Zahlbereiche seien hier in ihrem mathematischen Kontext vorgestellt. Im Laufe der Geschichte der Mathematik wurden immer weitere Zahlbereiche eingeführt, um gegenüber bisherigen Zahlbereichen bestimmte Probleme allgemeiner behandeln zu können. Insbesondere werden bestehenden Zahlbereichen zusätzliche Elemente hinzugefügt, um über gewisse Operationen allgemeiner sprechen zu können, siehe hierzu auch den Artikel zur Zahlbereichserweiterung.

Zum Begriff des Zahlbereichs siehe den Abschnitt zur Definition.

Natürliche Zahlen

→ Hauptartikel: Natürliche Zahl

Die natürlichen Zahlen bilden diejenige Menge von Zahlen, die zum Zählen verwendet wird (0, 1, 2, 3, 4, 5, …). Diese Menge wird, zurückgehend auf Nicolas Bourbaki, mit $\mathbb{N}$ oder $\mathbf{N}$ bezeichnet. Je nach Definition wird die Null miteingeschlossen oder nicht. Die natürlichen Zahlen sind mit einer Ordnung („kleiner“) versehen. Es gibt ein kleinstes Element (je nach Definition die Null oder die Eins) und jedes Element hat einen Nachfolger und ist kleiner als sein Nachfolger. Indem man ausgehend vom kleinsten Element immer wieder den Nachfolger bildet, erreicht man schließlich alle natürlichen Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind zudem mit Addition und Multiplikation versehen, je zwei natürlichen Zahlen lassen sich damit eine Summe und ein Produkt zuordnen, die wieder natürliche Zahlen sind. Diese Operationen sind assoziativ und kommutativ, zudem sind sie im Sinne des Distributivgesetzes miteinander verträglich: $a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c$. Diese drei Eigenschaften sind auch grundlegend für viele allgemeinere Zahlbereiche wie die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Die Ordnung der natürlichen Zahlen ist in gewisser Hinsicht mit der Addition und Multiplikation verträglich: Sie ist verschiebungsinvariant, d. h. für natürliche Zahlen m,n,o folgt aus $m\leq n$ auch $m+o\leq n+o$, zusätzlich zur Verschiebungsinvarianz folgt auch $m\cdot o\leq n\cdot o$.

Die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen wird in der Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom sichergestellt.

Ganze Zahlen

→ Hauptartikel: Ganze Zahl

In der Menge der natürlichen Zahlen existiert für zwei Zahlen n < m keine natürliche Zahl d, sodass m + d = n. Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen so, dass für zwei beliebige Elemente eine solche Zahl d existiert. Hierzu fügt man die negativen Zahlen den natürlichen Zahlen hinzu: Zu jeder natürlichen Zahl n existiert eine zweite ganze Zahl − n, sodass n + ( − n) = 0, welche als additives Inverses bezeichnet wird. Die obige Zahl d, genannt Differenz, ist dann als n + ( − m), kurz n − m, gegeben. Hierdurch ist die Subtraktion auf den ganzen Zahlen definiert, welche jedoch im Wesentlichen eine Kurzschreibweise darstellt.

Die Ordnung über den natürlichen Zahlen wird auf die ganzen Zahlen erweitert, hierbei gibt es kein kleinstes Element mehr, dafür hat jedes Element einen Vorgänger und einen Nachfolger (der Vorgänger der 0 ist die − 1, der der − 1 die − 2 etc.). Die Verträglichkeit mit der Addition, die Verschiebungsinvarianz, bleibt dabei erhalten. Zudem ist das Produkt von zwei ganzen Zahlen größer Null stets wiederum größer Null.

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit $\mathbb{Z}$ oder $\mathbf{Z}$ bezeichnet.

Rationale Zahlen

→ Hauptartikel: Rationale Zahl

Ebenso wie die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert werden, um ein additives Inverses und die Subtraktion zu erhalten, erweitert man die ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen, um ein multiplikatives Inverses und die Division zu erhalten. D. h. die rationalen Zahlen enthalten die ganzen Zahlen und zu jeder ganzen Zahl $z \neq 0$ fügt man die $\tfrac{1}{z}$ genannte Zahl (Stammbruch) als multiplikatives Inverses hinzu, sodass $\textstyle z\cdot \frac{1}{z}=1$. Zudem soll das Produkt zweier beliebiger rationaler Zahlen definiert sein, allgemein erhält man rationale Zahlen der Form $\textstyle \frac{x}{y}=x\cdot \frac{1}{y}$, genannt Bruch, wobei eine ganze Zahl z mit dem Bruch $\textstyle \frac{z}{1}$ identifiziert wird. In dem Falle, dass eine ganze Zahl t existiert, die sowohl x als auch y teilt, d. h. es gibt ganze Zahlen e und f, sodass $\textstyle t\cdot e = x$ und $\textstyle t\cdot f = y$, werden die Brüche $\textstyle \frac{x}{y}$ und $\textstyle \frac{e}{f}$ miteinander identifiziert. Somit erhält man eine mit der Multiplikation ganzer Zahlen kompatible Multiplikation und Division.

Mittels der Dezimalbruchdarstellung lässt sich eine mit der Ordnung der ganzen Zahlen kompatible Ordnung definieren, die auch die Verträglichkeit mit Addition und Multiplikation erhält.

Die rationalen Zahlen bilden einen (geordneten) Körper. Die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen wird verallgemeinert als Quotientenkörperbildung zu einem Ring.

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit $\mathbb{Q}$ oder $\mathbf{Q}$ bezeichnet.

Algebraische Erweiterungen

→ Hauptartikel: Algebraische Zahl und Algebraische Erweiterung

Mit der Addition und Multiplikation ganzer oder rationaler Zahlen lassen sich sogenannte Polynomfunktionen definieren: Jeder ganzen bzw. rationalen Zahl wird dabei eine Summe von Potenzen multipliziert mit konstanten Zahlen (Koeffizienten) zugeordnet. Etwa einer beliebigen Zahl x der Wert $\textstyle 12\cdot x^0 + 4\cdot x^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot x^3$ definiert als $\textstyle 12+4\cdot x\cdot x + \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot x\cdot x\cdot x$. Für viele solcher Polynomfunktionen existiert keine rationale Zahl, sodass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle gleich Null wird (Nullstelle). Fügt man nun Nullstellen bestimmter Polynomfunktionen den rationalen Zahlen hinzu, wobei Multiplikation und Addition wohldefiniert bleiben, erhält man eine algebraische Erweiterung. Erweitert man die rationalen Zahlen um solche Nullstellen für alle nicht-konstanten Polynome erhält man die algebraischen Zahlen. Erweitert man die ganzen Zahlen um Nullstellen für alle nicht-konstanten Polynome, deren Koeffizienten ganzzahlig sind und deren Koeffizient zur höchsten Potenz 1 ist, so erhält man die ganzalgebraischen Zahlen.

Algebraische Erweiterungen werden in der Galois-Theorie untersucht.

Reelle Zahlen

→ Hauptartikel: Reelle Zahlen

Betrachtet man Probleme wie etwa das Finden von Nullstellen von Polynomfunktionen über den rationalen Zahlen stellt man fest, dass sich in den rationalen Zahlen beliebig gute Näherungen konstruieren lassen: Etwa findet sich bei zahlreichen Polynomfunktionen zu jeder festgelegten Toleranz eine rationale Zahl, sodass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle höchstens um die Toleranz von der Null abweicht. Zudem kann man die Näherungslösungen so wählen, dass sie „nah beieinander“ liegen, denn Polynomfunktionen sind stetig („weisen keine ‚Sprünge‘ auf“). Dieses Verhalten tritt nicht nur bei Nullstellen von Polynomfunktionen auf, sondern auch bei zahlreichen weiteren mathematischen Problemen, die eine gewisse Stetigkeit aufweisen, sodass man dazu übergeht, die Existenz einer Lösung zu garantieren, sobald beliebig gute Näherungen durch nahe beieinander gelegene rationale Zahlen existieren. Eine solche Lösung nennt man dann eine reelle Zahl. Um die Existenz solcher Lösungen zu zeigen, reicht es zu fordern, dass es zu jeder Menge rationaler Zahlen, die nicht beliebig große Zahlen enthält, unter den reellen Zahlen, die größer oder gleich als all diese Elemente der Menge sind, eine kleinste gibt. Alternativ lassen sich die reellen Zahlen explizit als Folgen von rationalen Zahlen, die sich einander „annähern“ definieren.

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar. Daher ist es nicht möglich, jede beliebige reelle Zahl sprachlich eindeutig zu beschreiben.

Die Abgeschlossenheit der reellen Zahlen unter solchen Näherungsprozessen bezeichnet man als Vollständigkeit. Diese erlaubt es, zahlreiche Begriffe aus der Analysis, wie den der Ableitung und den des Integrals, über Grenzwerte zu definieren. Grenzwerte erlauben zudem die Definition zahlreicher wichtiger Funktionen, etwa die der trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens etc.), was über den rationalen Zahlen nicht möglich ist.

Die reellen Zahlen behalten maßgebliche Eigenschaften der Addition, Multiplikation und der Ordnung in den rationalen Zahlen und bilden somit ebenfalls einen geordneten Körper. Sie lassen sich nicht erweitern, ohne diese Eigenschaft oder das archimedische Axiom zu verletzen, also „unendlich kleine strikt positive Zahlen“ einzuführen.

Die Idee des Übergangs von den rationalen zu den reellen Zahlen wird durch das Konzept der Vervollständigung verallgemeinert.

Die Menge der reellen Zahlen wird mit $\mathbb{R}$ oder $\mathbf{R}$ bezeichnet.

Komplexe Zahlen

→ Hauptartikel: Komplexe Zahlen

Manche Polynomfunktionen besitzen keine Nullstellen in den reellen Zahlen. Beispielsweise nimmt die Funktion $x\mapsto x^2+1$ für jede reelle Zahl x einen Wert größer als Null an. Es lässt sich zeigen, dass durch das Hinzufügen einer Zahl i, genannt imaginäre Einheit, die die Gleichung i² + 1 = 0 erfüllt, wobei die grundlegenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation erhalten bleiben sollen, bereits die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert werden, in denen alle nicht konstanten Polynomfunktionen eine Nullstelle besitzen. Die komplexen Zahlen bilden damit den algebraischen Abschluss der reellen Zahlen. Grenzwertprozesse sind in den komplexen Zahlen ebenso möglich wie in den reellen Zahlen, jedoch sind die komplexen Zahlen nicht mehr geordnet. Sie lassen sich als Ebene (zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen) auffassen. Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig in der Form $a+b\cdot i$ „darstellen“, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit bezeichnen.

Die Funktionentheorie ist das Teilgebiet der Analysis, das sich mit den analytischen Eigenschaften von Funktionen über den komplexen Zahlen befasst.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit $\mathbb{C}$ oder $\mathbf{C}$ bezeichnet.

Ordinalzahlen und Kardinalzahlen

→ Hauptartikel: Ordinalzahl und Kardinalzahl (Mathematik)

Die Ordinal- und Kardinalzahlen sind Konzepte aus der Mengenlehre. In der Mengenlehre definiert man die Kardinalität einer Menge als Kardinalzahl, die Kardinalität ist eine Verallgemeinerung des Konzepts der „Anzahl der Elemente“ einer endlichen Menge auf unendliche Mengen. Die Kardinalitäten endlicher Mengen sind somit natürliche Zahlen, welche auch in den Kardinalzahlen enthalten sind.

Ordinalzahlen verallgemeinern das Konzept der „Position in einer (wohlgeordneten) Menge“ auf unendliche Mengen. Ordinalzahlen beschreiben dann eindeutig die Position eines Elementes in einer solchen Wohlordnung. Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet, sodass die Reihenfolge von wohlgeordneten Objekten der Reihenfolge der ihnen zugeordneten „Positionen“ (also Ordinalzahlen) entspricht. Für Positionen in Anordnungen endlich vieler Objekte lassen sich natürliche Zahlen verwenden, welche den kleinsten Ordinalzahlen entsprechen.

Kardinalzahlen werden heutzutage als spezielle Ordinalzahlen definiert, wodurch sie ebenfalls eine Ordnung erhalten. Neben der Ordnung sind auf Kardinalzahlen und Ordinalzahlen auch Addition, Multiplikation und Potenzierung definiert, welche eingeschränkt auf die natürlichen Zahlen mit den üblichen Begriffen für natürliche Zahlen übereinstimmen, siehe hierzu Kardinalzahlarithmetik und transfinite Arithmetik.

Sowohl die Ordinalzahlen als auch die Kardinalzahlen bilden eine echte Klasse, das heißt sie sind im Sinne der modernen Mengenlehre keine Mengen.

Hyperreelle Zahlen

→ Hauptartikel: Hyperreelle Zahlen

Die hyperreellen Zahlen sind eine Verallgemeinerung der reellen Zahlen und Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis. Diese erlauben die Definition von Begriffen aus der Analysis wie die der Stetigkeit oder der Ableitung ohne die Verwendung von Grenzwerten.

Hyperkomplexe Zahlen

→ Hauptartikel: Hyperkomplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen lassen sich als zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen auffassen (siehe Gaußsche Zahlenebene), das heißt als zweidimensionale Ebene, bei der neben der üblichen koordinatenweisen Addition eine Multiplikation zwischen zwei Punkten der Ebene definiert ist. Es gibt zahlreiche ähnliche Strukturen, die man unter dem Begriff hyperkomplexe Zahlen zusammenfasst. Diese Strukturen müssen endlichdimensionale Vektorräume über den reellen Zahlen mit einer Multiplikation mit neutralem Element sein. Oftmals lassen sich die reellen Zahlen selbst in diese Strukturen einbetten, wobei die Multiplikation eingeschränkt auf die reellen Zahlen der üblichen Multiplikation von reellen Zahlen entspricht.

Siehe auch

• p-adische Zahl, eine Verallgemeinerung der rationalen Zahlen unter Miteinbeziehung von unendlich vielen „Vorkomma-Stellen“, die in der Zahlentheorie Verwendung findet.
• Surreale Zahl, eine Verallgemeinerung der hyperreellen Zahlen und der Ordinalzahlen mit Anwendungen in der Spieltheorie.
• Restklassenringe können als Einschränkungen der ganzen Zahlen auf die ersten endlich vielen Elemente mit entsprechend definierter Arithmetik aufgefasst werden. Ihre Elemente werden mitunter auch als Zahlen bezeichnet.

Bezeichnung und Darstellung von Zahlen

→ Hauptartikel: Zahlendarstellungen und Zahlennamen

In der Mathematik spricht man mittels der Sprache der Logik über in dieser definierte mathematische Objekte wie etwa Zahlen, mit ihr lassen sich auch konkrete Zahlen mitunter eindeutig beschreiben, unter Umständen mittels Formeln. Über die gängigen logischen Formalismen hinaus existieren jedoch systematische Bezeichnungen für bestimmte Zahlen, etwa in Form von speziellen Kombinationen von Schriftzeichen (mitunter eigens dafür verwendete Zahlzeichen) oder mittels besonders konstruierter Wörter der natürlichen Sprache, wie etwa Numerale. Bezeichnungen für bestimmte Zahlen werden außerhalb der Mathematik verwendet, um konkrete Beobachtungen zu beschreiben, etwa eine Anzahl beobachteter Objekte (Ich sehe fünf Bananen) oder mittels eines anderen Messverfahrens bestimmte Messwerte (Der Türrahmen ist zwei Meter hoch). Des Weiteren erlauben solch systematische Zahlendarstellungen mitunter einfaches, systematisches Rechnen mit konkreten Zahlen – gerade auch durch Rechenmaschinen und Computer. Die Rechenverfahren zur Berechnung gewisser Operationen zwischen konkreten Zahlen hängen stark von der gewählten Darstellung ab.

In der Kultur- und Mathematikgeschichte haben sich zahlreiche Zahlensysteme zu solchen systematischen Zahlendarstellungen entwickelt. Älteste Belege für die Darstellung von Zahlen finden sich aus der späten Altsteinzeit (siehe etwa Ishango-Knochen). Beispiele für Zahlendarstellungen sind Strichlisten (Unärsystem) und die Ziffernfolgen verwendenden Stellenwertsysteme, wie sie heute für die Darstellung natürlicher Zahlen üblich sind und auch für die Zahlendarstellung in Computern in Form des Dualsystems verwendet werden.

Betrachtet man sprachliche Darstellungen von Zahlen formal, so lässt sich nicht jeder Zahl eine solche Darstellung zuordnen: Da sprachliche Formulierungen stets endlich sind, kann es von ihnen nur abzählbar viele verschiedene geben, während die Mathematik auch überabzählbare Zahlbereiche betrachtet. Man spricht dennoch auch von Darstellungen überabzählbarer Zahlbereiche, wenn man sich bei solchen formalen Darstellungen nicht mehr auf zu sprachlichen Formulierungen korrespondierende beschränkt, in ihrer Struktur können sie jedoch den Zahlensystemen ähneln, etwa lassen sich die reellen Zahlen als spezielle formale Reihen definieren, welche der Darstellung in Stellenwertsystemen strukturell ähneln.

Beispiele

Einige Beispiele für Darstellungen von Zahlen:

• „Vier“ bezeichnet im Deutschen als Zahlwort eine Zahl.
• Diese Zahl lässt sich als Strichliste |||| darstellen.
• In der römischen Zahlendarstellung wird sie als IV dargestellt.
• Als Formel lässt sie sich z. B. als 1 + 1 + 1 + 1 darstellen, was einer mathematischen Definition gleichkommt, falls die Eins zuvor definiert worden ist.
• Fasst man die natürlichen Zahlen als algebraische Struktur versehen mit Multiplikation und Addition auf, so lässt sich die Eins als einzige natürliche Zahl x definieren, sodass $x\cdot x = x \wedge x+x\neq x$, das Symbol 1 steht dann für eine natürliche Zahl, die diese Bedingung erfüllt.
• Definiert man natürliche Zahlen mengentheoretisch in der Variante von John von Neumann, so lässt sich die Vier über die übliche Darstellung endlicher Mengen als $\left\{\emptyset, \left\{\emptyset\right\}, \left\{\emptyset, \left\{\emptyset\right\}\right\}, \left\{\emptyset, \left\{\emptyset\right\}, \left\{\emptyset, \left\{\emptyset\right\}\right\}\right\}\right\}$ darstellen.
• Rationale Zahlen lassen sich als Brüche darstellen, z. B. $\tfrac{1}{2}$.
• Lösungen quadratischer Gleichungen über den rationalen Zahlen lassen sich als Formeln bestehend aus Addition, Multiplikation und Quadratwurzelbildung rationaler Zahlen darstellen. Beispielsweise beschreibt die Formel $\sqrt{2}$ eine Lösung der Gleichung x² = 2 für die Variable x.
• Komplexe Zahlen werden oftmals als Summe von Realteil und dem Imaginärteil multipliziert mit der imaginären Einheit dargestellt, etwa $\textstyle -\frac{4}{3}+\frac{9}{2}\cdot i$.
• Im Dualsystem wird die natürliche Zahl Neun als 1001 dargestellt, dies entspricht der Darstellung als Formel $1+1\cdot 2\cdot 2\cdot 2$.
• Jede reelle Zahl lässt sich als Reihe $\textstyle z+\sum_{i=1}^{\infty} a_i\cdot 2^{-i}$ mit einer ganzen Zahl z und Koeffizienten $a_i\in \left\{0,1\right\}$ „darstellen“, solche Darstellungen sind jedoch im Allgemeinen nicht endlich beschreibbar, da es überabzählbar viele mögliche „Belegungen“ der Koeffizienten gibt. Falls a_i für hinreichend große i stets Null wird, entspricht diese Darstellung einer Darstellung im Dualsystem mit Dezimaltrennzeichen (etwa 1001,11 für 9,75).

Zahlen als Bezeichnung

Ebenso wie bei Zahlendarstellungen zu Zahlen sprachliche Ausdrücke, Zeichenketten oder der gleichen zugeordnet werden, können umgekehrt Zahlen bestimmten Objekten zugeordnet werden, zum einen für abstrakte Überlegungen, zum anderen, um Darstellungen von Zahlen konkret zur systematischen Bezeichnung von anderen Objekten einzusetzen, etwa Information mittels Zahlen zu kodieren. Ein solches Vorgehen erlaubt die Anwendung von den auf Zahlen definierten Operationen auf diese Bezeichnungen. Ein verbreitetes Beispiel ist die Nummerierung, bei der jedem Objekt einer bestimmten betrachteten Gesamtheit eine (meist natürliche) Zahl zugeordnet wird: Dies erlaubt zum einen die Benennung der Objekte mittels ihrer Nummern, und schafft zum anderen mittels der auf den natürlichen Zahlen definierten Ordnung („kleiner“) eine Ordnung der Objekte, dies erlaubt etwa im Falle natürlicher Zahlen ein sequentielles Durchgehen aller Objekte. Zu beachten ist, dass nicht jede Nummer eine Zahl als von der Darstellung unabhängiges mathematisches Objekt ist. Manche Nummern sind als spezielle Symbolfolgen zu verstehen, die als Identifikatoren dienen, selbst wenn sie nur aus Ziffern bestehen (z. B. ISB- oder Hausnummern). Ein anderes Beispiel ist die Interpretation digitaler Information in der Datenverarbeitung: Als binäre Folge vorliegende Daten können auf natürliche Weise als natürliche Zahl, dargestellt im Dualsystem, interpretiert werden (Randfälle wie führende Nullen müssen dabei natürlich beachtet werden). Arithmetische Operationen über dieser Kodierung als Zahl werden u. a. in der Kryptographie und der Datenkompression eingesetzt.

Auch in der reinen Mathematik finden sich Anwendungen dieses Prinzips, wobei mathematischen Objekten oder Aussagen Zahlen zugeordnet werden, etwa in Form von Gödelnummern.

Weitere Beispiele sind die Repräsentation von Spielsituationen mittels surrealer Zahlen in der Spieltheorie oder die Darstellung von Drehungen im dreidimensionalen euklidischen Raum mittels Quaternionen.

Siehe auch

• Philosophie der Mathematik
• Arithmetik (das „Zahlenrechnen“)
• Liste besonderer Zahlen
• Zahlen in unterschiedlichen Sprachen
• Numerologie (pseudowissenschaftliche Betrachtung von Zahlen)

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus et. al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55654-0.
• Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. Parkland, Köln 1998, ISBN 3-88059-956-4.

Weblinks

 Commons: Numbers – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien

 Wiktionary: Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Artikel "Ziffer" aus Meyers Konversationslexikon
• Artikel "Zahl" aus Meyers Konversationslexikon