Diskrete Untergruppe

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In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie, Differentialgeometrie und Theorie der Lie-Gruppen.

Definition[Bearbeiten]

Sei G eine topologische Gruppe. Eine Untergruppe \Gamma heißt diskret, wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist, also alle Elemente isoliert sind: in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements \gamma\in\Gamma liegen keine weiteren Elemente von \Gamma.

Eine Darstellung \rho\colon\Gamma\to GL(n,\C) einer (abstrakten) Gruppe \Gamma heißt diskret, wenn das Bild \rho(\Gamma) eine diskrete Untergruppe von GL(n,\C) ist.

Beispiele[Bearbeiten]

  • \Z\subset \R ist eine diskrete Untergruppe
  • \Z\subset \C ist eine diskrete Untergruppe
  • \Q\subset \C ist keine diskrete Untergruppe
  • GL(n,\Z)\subset GL(n,\R) ist eine diskrete Untergruppe

Eigenschaften[Bearbeiten]

Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen.

Gitter[Bearbeiten]

Sei G eine lokalkompakte \sigma-kompakte topologische Gruppe, \pi:G\rightarrow\Gamma\backslash G die Projektion und \mu das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutige) Haarmaß. Für eine diskrete Untergruppe \Gamma\subset G erzeugt das Haarmaß \mu ein wohldefiniertes Maß \mu_\Gamma auf \Gamma\backslash G wie folgt: für alle Mengen A\subset G mit A\cap\gamma A=\emptyset\forall \gamma\in\Gamma -\left\{e\right\} definieren wir \mu_\Gamma(\pi(A))=\mu(A).

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe \Gamma\subset G, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt, oder äquivalent: für die der Quotientenraum \Gamma\backslash G endliches Volumen (bzgl. des Haarmaßes) hat.

Das Gitter heißt uniform oder kokompakt, wenn \Gamma\backslash G kompakt ist.

Literatur[Bearbeiten]