Index (Gruppentheorie)

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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die relative Größe zur gesamten Gruppe.

Definition[Bearbeiten]

Es sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Dann sind die Menge G/U der Linksnebenklassen und die Menge U\backslash G der Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit ist der Index von U in G und wird mit (G \colon U), manchmal auch [G\colon U] oder |G\colon U|, bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Es gilt (G\colon 1)=|G|. (Dabei bezeichnet |G| die Ordnung von G.)
  • Der Index ist multiplikativ, d.h. ist U eine Untergruppe von G und V eine Untergruppe von U, so gilt
(G\colon V)=(G\colon U)\cdot(U\colon V).
Für eine Gruppe G und eine Untergruppe U gilt:
|G| = (G\colon U)\cdot|U|.
Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also als
(G\colon U) = \frac{|G|}{|U|}
berechnen.
(G\colon N)=\left|G/N\right|.
  • Eine Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler, da von den zwei (Links)nebenklassen die eine die Untergruppe selbst und die andere deren Komplement ist.
  • Allgemeiner: Ist U eine Untergruppe von G und p > 1 ihr Index, der zugleich der kleinste Teiler der Ordnung |G| ist, dann ist U ein Normalteiler in G.

Topologische Gruppen[Bearbeiten]

Im Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle:

  • Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. (Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen.)
  • Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index.

Siehe auch[Bearbeiten]

  • Der Index des Zentralisators eines Gruppenelements entspricht der Mächtigkeit seiner Konjugationsklasse.[1]
  • In der Galoistheorie ist durch die Galoiskorrespondenz ein Zusammenhang zwischen den relativen Indizes von Untergruppen der Galoisgruppe und den relativen Graden von Körpererweiterungen gegeben.[2]

Literatur[Bearbeiten]

Index in der Gruppentheorie:

  •  Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, New York 1989, ISBN 0-387-90518-9.

In topologischen Gruppen:

  •  Lew Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teubner, Leipzig 1957 (Originaltitel: Nepreryvnye gruppy, übersetzt von Viktor Ziegler).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Hungerford (1989), S. 89
  2. Hungerford (1989), S. 247