Diskussion:No-Cloning-Theorem

Wenn schon auf Bruß verwiesen wird, dann kann der Beweis auch viel einfacher erfolgen (als Einzeiler), siehe dort S.38.--Claude J 13:29, 23. Mai 2009 (CEST)

Und mehrere ?

So wie es dasteht, könnte man es als Laie so interpretieren, daß ein Kopiermechanismus immer nur eine bestimmte Untermenge an Zuständen kopieren kann, es aber durchaus nicht ausgeschlossen ist, daß weitere Kopiermechanismen jeweils andere Zustandsmengen kopieren. Grob gesagt, Mechanismus 1 kann nur die blauen Zustände kopieren, Mechanismus 2 die grünen, etc. ... Aus Sicht der Kryptografie stellt sich also die Frage, wie die verschlüsselnde Seite sicherstellen kann, eine unendliche Menge nicht-orthogonaler Zustände zu erzeugen. Wäre gut, wenn der Artikel diesen Aspekt noch besser aufklären könnte. JB. --92.195.89.220 12:53, 30. Aug. 2014 (CEST)

ja, das ist so: jeder (optimale) Kopiermechanismus kann eine Orthogonalbasis perfekt kopieren, aber nicht die Überlagerungen dieser Basiszustände. Das ist kein Problem für die Kryptographie: sobald sichergestellt ist, dass die Menge der dafür verwendeten Zustände genügend zueinander nicht-orthogonale Zustände enthält, führt der Versuch, diese Zustände zu kopieren zu detektierbaren Fehlern im Schlüsselverteilungsprotokoll - solange derjenige, der Kopieren will, nicht weiss, um welchen Zustand es sich handelt, muss er sich für ein bestimmtes Kopierverfahren entscheiden und dabei in Kauf nehmen, bestimmte Zustände fehlerhaft zu kopieren. --Qcomp (Diskussion) 12:23, 20. Jun. 2021 (CEST)

Leider unverständlich

Wenn hier schon ein Beweis in den Artikel kommt, sollte er nicht nur für Spezialisten und dabei so unvollständig sein. Müsste nicht als Erstes gesagt werden, was im Kalkül der Quantentheorie ein Verfahren ist? Dann hätte ich (ein bisschen bin ich Oma, aber doch nicht ganz) gedacht, es ginge darum, einen Zustand auf ein Objekt zu kopieren, das zuvor einen andern Zustand haben mag. Aber einen Zustand auf einen anderen Zustand, was heißt das? Und dann gleich zwei Zustände auf einen, wo doch das Theorem nur von einem spricht? Was der Unterschied von kopieren und perfekt kopieren sein mag, bleibt auch im Dunkeln.

Ganz so von oben herab, wer′s nicht versteht, hat eben nichts gelernt, sollte ein WP-Artikel nicht geschrieben sein.– Binse (Diskussion) 01:18, 3. Nov. 2020 (CET)

Hier ein Vorschlag für einen hoffentlich klareren Einleitungssatz:

Das No-Cloning-Theorem ist ein bedeutsames Resultat der Quantenphysik. Demnach gibt es kein Verfahren, das jeden beliebigen unbekannten Quantenzustand perfekt kopiert und den ursprünglichen Zustand ungestört erhält. Das Theorem ist eine Folge der Linearität der Quantenmechanik.

was ich für änderernswert halte: (1) Cloning bezieht sich nicht bloss auf Zweizzustandssysteme (Qubits); (2) die Unitarität der Zeitentwicklung ist nicht entscheidend (sie gilt z.B. auch, wenn man eine nicht-unitäte vollständig-positive Abbildung ansetzt) sondern die Linearität (3) es werden Zustände kopiert, nicht Systeme;(4) es wird nicht gesagt, was "perfekt kopiert" heisst.

vielleicht wäre es dann sinnvoll, vor dem Beweis einen Abschnitt mit der präzisen Formulierung des Theorems einzubauen? Etwa:

Es gibt keine quantenmechanische Zeitentwicklung (keinen Quantenkanal) $C$, die auf ein System im reinen Zustand $|\psi \rangle$ wirkt und für jeden solchen Input den Output $C(|\psi \rangle )=|\psi \rangle \otimes |\psi \rangle$ produziert.

Quantitativer lässt sich das wie folgt formulieren: es gibt keine Quantenoperation $C$, so dass für alle Input-Zustände $\rho _{in}=|\psi \rangle \langle \psi |$ gilt, dass die Fidelität des Outputzustands $C(|\psi \rangle )$ mit $|\psi \rangle \otimes |\psi \rangle$, $F(C(|\psi \rangle ),\psi \rangle ^{\otimes 2})=\langle \psi ,\psi |C(|\psi \rangle )|\psi ,\psi \rangle )$ gleich 1 ist. (Hier ist $C$ ein beliebiger Quantenkanal, der auf ${\mathcal {B(H_{in})}}$, dem Raum der beschränkten Operatoren auf dem Input-Hilbertraum ${\mathcal {H_{in}}}$ wirkt und einen Output in ${\mathcal {B(H_{in})\otimes B(H_{in})}}$ produziert.)

Es wurde gezeigt, dass die optimale Fidelität, die die Quantenmechanik erlaubt, $F={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1+d}}$ ist, wobei $d$ die Dimension des Hilbertraums des Inputsystems ist. Man kann allgemeiner nach der maximalen Fidelität fragen mit der aus $N$ Kopien des Inputzustands $M>N$ Kopien produziert werden können (optimal N-to-M-cloning) und findet (für $d$-dimensionalen Input) $F_{N\to M}(d)={\frac {N}{M}}+{\frac {(M-N)(N+1)}{M(N+d)}}$.

Das No-Cloning-Theorem ist eng mit anderen in der Quantenmechanik nicht möglichen Operationen verbunden. Es stellt die stärkste in einer Reihen von "unmöglichen Maschinen" dar, darunter den "Heisenberg-Analysator" (der die gleichzeitige präzise Messung von zwei nicht miteinander kommutierenden Observablen -besser als von der Heisenbergschen Unschärferelation zugelassen- erlauben würde) und das "Bell-Telefon" (mit dem verschränkte Systeme zur überlichtschnellen Kommunikation verwendet werden könnten). Die Quanten-Klonier-Maschine ist die stärkste davon in dem Sinne, dass damit (und den üblichen Operationen und Regeln der Quantenmechanik) auch die anderen Maschinen realisiert werden könnten (aber nicht umgekehrt). Das Argument dabei ist einfach: mit einer perfekten Klonmaschine lässt sich ein gegebener Zustand beliebig oft vervielfachen. Um den Erwartungswert einer Observablen A mit einer Genauigkeit $\epsilon$ zu bestimmen, benötigt man $N_{\epsilon }$ Kopien des Zustands (für jedes gewünschte $\epsilon >0$ gibt es ein geeignetes $N_{\epsilon }<\infty$). Um dann zwei beliebige Observable A und B beide mit dieser Genauigkeit zu bestimmen, genügt es $2N_{\epsilon }$ Kopien anzufertigen und die erste Hälfte zur Bestimmung von $\langle A\rangle$ die zweite für $\langle B\rangle$ zu verwenden. (nicht signierter Beitrag von Qcomp (Diskussion | Beiträge) 17:07, 20. Jun. 2021 (CEST))

No-Cloning-Theorem#Beweis

Im Abschnitt Beweis wird gezeigt, dass zwei Zustände $\psi$ und $\phi$, die durch denselben unitären Operator geclont werden, notwendig orthogonal sind (oder modulo Phase gleich). Das Ergebnis wird erläutert durch den Satz "Damit kann ein quantenmechanisches Verfahren, welches in der Lage ist, einen Zustand $\psi$ zu kopieren, bestenfalls noch alle zu $\phi$ orthogonalen Zustände kopieren." Den Satz kann ich nur verstehen, wenn $\phi$ durch $\psi$ ersetzt wird. Das habe ich in [1] versucht, das wurde daraufhin von einer IP revertiert mit der Begründung, man könne dann jeden Zustand des Hilbertraums clonen. Entweder ich verstehe es nicht, oder ich glaube es nicht. Man kann bestenfalls Zustände aus dem zu $\psi$ orthogonalen Unterraum clonen, aber z.B. nicht den Zustand $\alpha \psi +\beta \phi$. Ich weiß nicht, wie der Satz, wie er derzeit im Artikel steht, zu verstehen ist. Gibt es Meinungen dazu? --Wrongfilter ... 14:53, 19. Jun. 2021 (CEST) Ich sehe gerade, dass der Satz von einer ähnlichen IP, also vermutlich der gleichen Person, im Januar geändert wurde. Zuvor stimmte der Satz mit meiner Interpretation überein. --Wrongfilter ... 14:57, 19. Jun. 2021 (CEST)

es gab nochmal eine Änderung (und revert von mir): Du hast in der Sache Recht, es kann eine Orthogonalbasis perfekt kopiert werden, aber alle zu diesen Basiszuständen weder orthogonalen noch parallelen Zustände (=alle nicht-trivialen Überlagerungen) nicht. (vgl. Valerio Scarani, Sofyan Iblisdir, Nicolas Gisin, Antonio Acín: In: Rev. Mod. Phys. Band 77, 2005, S. 1225, arxiv:quant-ph/0511088.  für das optimale Verfahren zum $n\to M$-Klonen). --Qcomp (Diskussion) 12:48, 20. Jun. 2021 (CEST)

Ja, stimmt, es ist tatsächlich nur die Basis, weil $\alpha \phi _{1}+\beta \phi _{2}$ zwar zu $\psi$ orthogonal ist, wenn die $\phi$ es sind, aber nicht z.B. zu $\phi _{1}$, was auch notwendig ist. --Wrongfilter ... 12:59, 20. Jun. 2021 (CEST)