Diskussion:Reguläre Fläche

Verlinkung zur englischen Seite

Wenn ich mich nicht täusche, dann müsste die entsprechende englische Seite hierzu die "parametric surface" sein. (nicht signierter Beitrag von 94.223.87.31 (Diskussion) 12:10, 6. Jun. 2011 (CEST))

Ich habe auch gerade nach einem passenden Interwiki-Link gesucht, ohne fündig zu werden. Kann das sein, dass WP-en alles in en:Differential geometry of surfaces reingepackt hat? en:parametric surface ist jedoch nicht das passende Gegenstück. --KMic 20:47, 30. Okt. 2011 (CET)

Doch en:parametric surface müsste das richtige Lemma sein. In der elementaren Differentialgeometrie werden Flächen oftmals nicht durch Karten, sondern durch Parametrisierungen definiert. Die Definitionen sind aber äquivalent. Der deutsche Artikel müsste noch etwas konkretisiert werden, was wohl auch der Kritikpunkt in der Diskussion hierunter ist. --Christian1985 (Diskussion) 23:33, 30. Okt. 2011 (CET)

Untermannigfaltigkeit

Mir gefällt die Definition einer regulären Fläche in diesem Artikel (die sich wohl an do Carmo anlehnt) aus mehreren Gründen nicht so gut: Hier werden Flächen im Prinzip als Untermannigfaltigkeiten definiert. Allerdings nicht mit Hilfe von Schnittkarten, sondern mit Parametrisierungen. Das ist irgendwie inkonsequent. In der klassischen Elementargeometrie arbeitet man nur mit Parametrisierungen und beschreibt alle Größen (1. und 2. Fundamentalform usw.) im Parameterbereich. Dies erlaubt einerseits nur, Teilstücke von Flächen zu beschreiben, die topologisch trivial sind, andererseits können damit auch Flächen beschrieben werden, die Selbstschnitte haben. In der klassischen Theorie treten diese recht häufig auf, z.B. als Minimalflächen oder Flächen konstanter Krümmung. In der modernen Differentialgeometrie arbeitet man mit Karten und beschreibt die Größen als intrinsische Objekte auf der Untermannigfaltigkeit. Man betreibt sozusagen riemannsche Geometrie auf der Fläche. Der Artikel beschreibt eine Mischung aus diesen beiden Ansätzen und wird dadurch keinem richtig gerecht. -- Digamma 22:10, 29. Jul. 2010 (CEST)

Diesen Kritikpunkt kann ich gut nachvollziehen. Ich habe den Artikel damals (mithilfe des do Carmo) hauptsächlich deshalb geschrieben, um ihn im Artikel Satz von Stokes zu verlinken, weil dort eine Diskussion um jedes Wort entstand. Und deshalb sollte der Artikel in großen Teilen von einem Drittsemester-Student verstanden werden. So war zumindest meine Intension. Hast Du eine Idee wie man den Artikel verbessern kann und ihn trotzdem ohne große Kenntnisse der Differentialgeometrie verstehen kann? Zusätzlich gibt es ja noch die Baustellen Untermannigfaltigkeit und Reelle Untermannigfaltigkeit. --Christian1985 00:20, 30. Jul. 2010 (CEST)

Den Artikel Satz von Stokes muss ich mir erst noch mal ansehen. Ich nehme an, es ging um den klassischen Satz von Stokes, wo die Rotation eines Vektorfelds über eine berandete Fläche integriert wird.

Für hier: Ich würde zunächst ganz klassisch ein parametrisiertes Flächenstück definieren als Abbildung von einer Teilmenge des $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{3}$, so wie es zum Beispiel in den Artikeln erste Fundamentalform und zweite Fundamentalform vorausgesetzt wird. In einem zweiten Teil kann man dann von Untermannigfaltigkeiten reden und den Zusammenhang zwischen den beiden herstellen.

Was mir auch nicht so gut gefällt ist der Name des Lemmas. Denn "regulär" ist zwar eine wichtige Voraussetzung für viele Aussagen, für mich aber nicht Bestandteil des Konzepts an sich (zumindest wenn man parametrisierte Flächen betrachtet), denn man möchte damit auch Flächen mit Singularitäten erfassen wie Tangentenflächen oder Kegel. Aber wie ich gesehen habe, ist das ein schwieriges Thema, weil Fläche auf Flächeninhalt weiterleitet. Was spricht gegen Fläche (Differentialgeometrie)? OK, einen Einwand habe ich selbst: Man verwendet sie auch in der Analysis, speziell in der Vektoranalysis. Ich muss nochmal darüber nachdenken. -- Digamma 10:43, 30. Jul. 2010 (CEST)

Ja es ging hauptsächlich um den klassischen Satz von Stokes. Mit dem Satz-von-Stokes-Artikel bin ich mitlerweile recht unzufrieden. Dein Vorschlag zur Verbesserung dieses Artikels klingt ganz gut. Muss mir dazu dann auch mal Gedanken machen. Den Artikelnamen "Reguläre Fläche" habe ich aus irgendeinem Buch entnommen, ich weiß aber nicht mehr aus welchem. Auch differenzierbare Fläche habe ich schon für dieses Objekt gelesen. Das Thema Weiterleitungsartikel Fläche ist ein ganz heikles Thema... In der Diskussion Wikipedia:WikiProjekt_Begriffsklärungsseiten/Fließband/Knacknüsse#Fl.C3.A4che_.28Begriffskl.C3.A4rung.29 geht es darum diese Weiterleitung abzuschaffen und dort eine BKL oder einen vernünftigen Artikel anzulegen. Vielleicht möchtest du dort auch was zu sagen. Ich werde nun die nächsten zwei Wochen kaum Internet haben, sodass ich auch in dieser Zeit hier keine Edits machen kann. Viele Grüße --Christian1985 11:34, 30. Jul. 2010 (CEST)

Keine Gegenbeispiele?

Wäre der (Doppel-)Kegel ein Beispiel für eine nicht reguläre Fläche? Weil an der Spitze keine Tangentialebene abgeheftet werden kann? Und wenn man die Spitze entfernt? --χario 00:49, 18. Apr. 2012 (CEST)

Ja richtig der Kegel ist keine reguläre Fläche, weil in der Spitze Probleme auftreten, woraus auch folgt, dass es dort keine Tangentialebene gibt. Der Kegel ist glaube ich eine algebraische Fläche. Wenn man die Spitze des Kegels entfernt, dann hat man ja wieder so etwas wie einen Zylinder. Das wäre eine reguläre Fläche--Christian1985 (Diskussion) 01:28, 18. Apr. 2012 (CEST)

Okay aber die untere Kante darf doch auch nicht dazu gehören, es muss schon offen sein, oder? Und dann auch nur der Mantel, denn (Mantel + Boden - Spitze - Kante) ist ja nicht mehr zusammenhängend. Bisher sind nur Beispiele ohne Ränder aufgeführt. --χario 02:41, 26. Apr. 2012 (CEST)

Ja das ist richtig, nach der Definition hier bleibt diese Kante auch außen vor. Man könnte allerdings berandete Flächen (eine Verallgemeinerung) untersuchen, dann würde die Kante nicht stören. Eine reguläre Fläche muss hingegen nicht unbedingt zusammenhängend sein. Hat man eine nicht zusammenhängende Fläche mit zwei Zusammenhangskomponenten, dann kann man bei deren Betrachtung eben sagen, dass man beide Zusammenhangskomponenten jeweils wieder als eigene Fläche ansieht.--Christian1985 (Diskussion) 10:40, 26. Apr. 2012 (CEST)

Okay, dann schlage ich vor das so bei den Beispielen anhand geometrischer Körper ohne Kanten und Ecken zu erwähnen, z.B. mit Würfel (6 planare Zusammenhangskomponenten) und Kegel (1 gekrümmte, 1 planare ZHK). --χario 00:05, 28. Apr. 2012 (CEST)

Abschnitt Graphen diffbarer Funktionen

Der Satz, dass die Umkehrung nicht gilt, gefällt mir nicht :D Denn der legt ja nahe, dass man erwarten könnte, dass eine globale Karte existieren würde - das tut man aber bei Mannigfaltigkeiten nie, man redet immer über endlich viele Karten, durch die die MF abgedeckt werden muss (schon in der Def. zu MF). Und in dem Sinne gilt die "Umkehrung" ja durchaus. Irgendwie umformulieren? --χario 00:05, 28. Apr. 2012 (CEST)

Die Aussage ist stärker, selbst wenn für eine Untermannigfaltigkeit eine globale Karte existiert, muss es nicht möglich sein, die Untermannigfaltigkeit als Graph einer Funktion zu schreiben. In der klassischen elementaren Differentialgeometrie werden außerdem keine Untermannigfaltigkeiten betrachtet, sondern reguläre Parametrisierungen, also nur solche Flächen, die sich durch eine einzige Karte darstellen lassen. Für die lokale Theorie spielt das ja keine Rolle. Dieses Vorgehen ist aber insofern allgemeiner, als man Selbstschnitte zulassen kann. --Digamma (Diskussion) 19:33, 28. Apr. 2012 (CEST)

Ich muss gestehen, dass ich deine Antwort nicht komplett verstehe, wohl weil ich nur sehr elementare Kenntnisse in Diffgeo habe. Insbesondere: "...die sich durch eine einzige Karte darstellen lassen..." - also nicht mal Kugeln? Aber Tori schon? Und was gäbs da sonst noch für Beispiele? --χario 00:49, 23. Mai 2012 (CEST)

Kugeln halt nicht als ganzes, sondern nur Ausschnitte. Weil die klassische elementare Differentialgeometrie sich nur mit lokalen Eigenschaften befasst und nicht mit globalen topologischen. Der Begriff der Mannigfaltigkeit wurde erst von Whitney im 20. Jahrhundert eingeführt, die klassische Theorie geht aber mindestens bis auf Gauß und Lagrange zurück.

Beispiele: Parametrisierung der Kugel

Für die Parametrisierung der Kugel ist die Funktion $g\colon \left]-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[\times \left[0,2\pi \right[\to \mathbb {R} ^{3}$ angegeben, müsste die Funktion nicht aber $g\colon \left]-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[\times \left]0,2\pi \right[\to \mathbb {R} ^{3}$ lauten, da sonst $U$ nicht offen ist, (vgl. Definition)? (nicht signierter Beitrag von 77.12.231.66 (Diskussion) 15:33, 10. Mär. 2013 (CET))

Das ist richtig. Man könnte allerdings auch nicht-offene Definitionsbereiche zulassen. Außerdem müsste man korrekterweise von der "Sphäre" oder "Kugeloberfläche" sprechen. Ich ändere es mal. --Digamma (Diskussion) 22:35, 10. Mär. 2013 (CET)

Ich habe es doch nicht geändert. Die Sache ist komplizierter. Wenn man den Begriff "reguläre Fläche" mit Hilfe von Parametrisierungen definiert, muss man fordern, dass die Definitionsbereiche der Parametrisierungen offen sind. Wenn man aber schon weiß, dass ein konkretes Objekt eine reguläre Fläche ist, dann kann man auch Parametrisierungen zulassen, deren Definitionsbereiche nicht offen sind. Auf diese Art kann man z.B. Parametrisierungen des Torus finden, die bijektiv sind, und Parametrisierungen der Sphäre, die fast surjektiv sind (bis auf 2 Punkte). Nützlich ist das auch, wenn man über die Fläche integrieren möchte, da man beim Integrieren nur messbare Bereiche voraussetzen muss. Auf diese Weise muss man sich nicht um Mengen auf der Fläche kümmern, die nicht im Definitonsbereich der Parametrisierung liegen.

Das wird im Artikel leider nicht klar unterschieden; es ist aber nicht mit einer kleinen Änderung getan. --Digamma (Diskussion) 22:43, 10. Mär. 2013 (CET)