Algebraische Fläche
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In der algebraischen Geometrie wird eine Fläche in anderer Hinsicht als in der Differentialgeometrie und der Topologie untersucht. Eine algebraische Fläche wird mittels Polynomen definiert, die mathematisch gut erfasst sind. Mit den Werkzeugen der abstrakten Algebra werden allein durch Untersuchung der Polynome und ihrer Lösungsmengen Symmetrien und Singularitäten erkannt. Die Formenvielfalt und die Fülle der Theorie ist bei algebraischen Flächen immens viel größer als die von eindimensionalen algebraischen Kurven. Bis auf sehr einfache Fälle lassen sich die Gleichungen nicht nach einer Variablen auflösen, sodass die Lösungsvektoren nur numerisch berechnet werden können. Das bekannteste Beispiel ist die Kugeloberfläche, die durch die Lösungen 
von x2 + y2 + z2 − 1 = 0 gegeben ist.
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[Bearbeiten] Definition
Eine algebraische Fläche ist immer Varietät, sie wird also durch eine Polynomgleichung beschrieben, die Punkte die zu der Fläche gehören, sind genau die Lösungen der Gleichung. Meist wird sie so formuliert, dass die Lösungen gerade die Nullstellen der Gleichung sind. Da diese Nullstellengebilde auch differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind, lässt sich ein Dimensionsbegriff finden und somit eine Fläche von einer algebraischen Kurve oder höherdimensionalen Varietäten unterschieden.
Die Zweidimensionalität kann sich sowohl auf reelle Dimensionen als auch auf komplexe beziehen, so ist eine Riemannsche Fläche komplex ein- und reell zweidimensional, eine Danielewski-Fläche ist komplex zweidimensional und damit reell vierdimensional.
[Bearbeiten] Anschauliche Flächen
Es handelt sich nur dann auch anschaulich um Flächen, wenn die Polynomgleichung über den reellen Zahlen gelöst wird und sie höchstens drei Variablen x,y und z enthält, denn dann kann die Fläche in den dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet werden - oft aber nur mit Selbstdurchdringungen, was man der Gleichung nicht unbedingt ansieht. Die Variablen werden dann als Raumkoordinaten interpretiert (z.B nach der Drei-Finger-Regel).
Die alebraische Fläche heißt vom Grad oder Ordnung von n, wenn die maximale Summe der Exponenten, die in einem Monom auftauchen gerade n ist.
