Doobsche Maximalungleichung
Die Doobsche Maximalungleichung ist eine der zentralen Ungleichungen in der Stochastik. Neben der Burkholder-Ungleichung ist sie eine der gängigsten Berechnungsmethoden für die (stochastische) Größenordnung von (stetigen) Martingalen. Sie ist nach Joseph L. Doob und findet sich in der Literatur unter unterschiedlichen Namen (Doobsche -Ungleichung,[1] Doobsche Ungleichung(en),[2] Doobsche Extremal-Ungleichungen,[3] Maximale Ungleichung,[4] Doobs Maximal-Ungleichung[5]) wie auch in leicht unterschiedlichen Formulierungen, die sich durch die Anzahl der angegebenen Ungleichungen und die Voraussetzungen unterscheiden. Die Benennung als -Ungleichung folgt aus der Verwendung der -Norm, die Benennung als "Maximal", da das Supremum der ersten Glieder des Prozesses abgeschätzt wird. Es finden sich auch Unterschiede in der Notation, so werden entweder die -Norm oder der Erwartungswert zur Formulierung verwendet.
Diskrete Indexmenge
Sei ein stochastischer Prozess. Definiere
- und
Ist ein Submartingal, dann gilt für jedes
- .
Ist ein Martingal oder ein positives Submartingal und ist sowie , so gilt
- .
Des Weiteren gilt für jedes immer
In der Formulierung finden sich diverse Unterschiede. So zählen manche Autoren die erste Ungleichung nicht dazu,[6] andere formulieren lediglich die erste und die zweite Ungleichung, und diese nur für positive Submartingale[7], zeigen nur einen Spezialfall für fixes [8] oder nennen die erste Ungleichung Doobsche Extremal-Ungleichung und die zweite Doobsche -Ungleichung.[9]
Stetige Indexmenge
Es sei ein Martingal oder nichtnegatives Submartingal und und sei rechtsstetig. Dann gilt[10] für alle :
- .
Dabei bezeichnet die Lp-Norm. Man beachte, dass die konjugierte reelle Zahl zu ist, d. h. es gilt . Entsprechend ist der zentrale Beweisschritt die Anwendung der Hölder-Ungleichung.
Literatur
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
- Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
- Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
Einzelnachweise
- ↑ Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 222.
- ↑ Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 484.
- ↑ Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 284.
- ↑ Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 430.
- ↑ Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 327.
- ↑ Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 222.
- ↑ Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 327.
- ↑ Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 430.
- ↑ Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 284-286.
- ↑ Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, S. 412f