Hölder-Ungleichung

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In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung, benannt nach Otto Hölder, zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume.

Aussage[Bearbeiten]

Höldersche Ungleichung[Bearbeiten]

Sei S ein Maßraum,  1 \leq p, q \leq \infty mit  \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1, sei f aus L^p(S) und g aus L^q(S).

Dann ist

fg \in L^1(S)

und es gilt:

\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.

Man bezeichnet q als den zu p konjugierten Hölder-Exponenten. Die letzte Ungleichung gilt auch im Fall, dass f und g nur Lebesgue-messbar sind (denn falls die linke Seite unendlich ist, dann folgt, dass auch die rechte Seite unendlich sein muss).

Spezialfälle[Bearbeiten]

Sei S die Menge  \{1,\ldots,n \}, ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q} ,

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen x_1, \ldots, x_n, y_1 , \ldots , y_n. Ist S die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß, erhält man dieselbe Ungleichung, nur mit unendlichen Reihen statt endlichen Summen.

Für p = q = 2 erhält man als Spezialfall die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Es seien p_j \in [1, \infty], j = 1, \ldots, m sowie \textstyle \frac{1}{r} := \sum_{j=1}^m\frac{1}{p_j} und  f_j \in L^{p_j}(S) für alle  j =1,\ldots,m.

Dann folgt

\prod_{j=1}^mf_j \in L^r(S)

und es gilt die Abschätzung

\|\prod_{j=1}^mf_j\|_r \leq \prod_{j=1}^m\|f_j\|_{p_j}.

Umgekehrte höldersche Ungleichung[Bearbeiten]

Es sei  g(x) \neq 0 für fast alle x \in S.

Dann gilt für alle r > 1 die umgekehrte höldersche Ungleichung

\int_S|f(x)g(x)|dx \geq \left(\int_S|f(x)|^{\frac{1}{r}}dx\right)^r  \left(\int_S|g(x)|^{-\frac{1}{r-1}}dx\right)^{-(r-1)}.

Beweise[Bearbeiten]

Beweis der hölderschen Ungleichung[Bearbeiten]

Für p=1, q=\infty (und umgekehrt) ist die Aussage der hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass 1 < p,q < \infty gilt. Ohne Einschränkung seien \|f\|_p > 0 und \|g\|_q > 0. Nach der youngschen Ungleichung gilt:

 AB \leq \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}

für alle A,B \geq 0. Setze hierin speziell  A := \tfrac{|f(x)|}{\|f\|_p},\, B := \tfrac{|g(x)|}{\|g\|_q} ein. Integration liefert

 \frac{1}{\|f\|_p\|g\|_q}\int_S|fg| \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,

was die höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über m geführt. Der Fall m=1 ist trivial. Sei also nun  m \geq 2 und ohne Einschränkung sei p_1 \leq \cdots \leq p_m. Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: p_m = \infty. Dann ist \textstyle \frac{1}{r} = \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j}. Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

 \|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_m\|_\infty\|f_1\cdots f_{m-1}\|_r \leq
\|f_m\|_\infty\|f_1\|_{p_1}\cdots\|f_{m-1}\|_{p_{m-1}}.

Fall 2: p_m < \infty. Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten \tfrac{p_m}{p_m-r}, \tfrac{p_m}{r} gilt

\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^r|f_m|^r \leq \left(\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^{\frac{rp_m}{p_m-r}}\right)^{\frac{p_m-r}{p_m}}\left(\int_S|f_m|^{p_m}\right)^{\frac{r}{p_m}},

also \textstyle \|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_1\cdots f_{m-1}\|_{\tfrac{rp_m}{p_m-r}}\|f_m\|_{p_m}. Nun ist \textstyle \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j} = \frac{1}{r} - \frac{1}{p_m} = \frac{p_m-r}{rp_m}. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten hölderschen Ungleichung[Bearbeiten]

Die umgekehrte höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten p := r und  q := r' = \tfrac{p}{p-1} wählt. Man erhält damit:

 \int_S|f|^{\frac{1}{r}} = \int_S\left(|fg|^{\frac{1}{r}}\cdot|g|^{-\frac{1}{r}}\right)
\leq \left(\int_S|fg|\right)^{\frac{1}{r}}\left(\int_S|g|^{-\frac{r'}{r}}\right)^{\frac{1}{r'}}.

Umformen dieser Ungleichung liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.

Anwendungen[Bearbeiten]

Beweis der Minkowski-Ungleichung[Bearbeiten]

Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im L^p) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen[Bearbeiten]

Seien  f \in L^p(S) \cap L^q(S) und 1\leq q\leq r\leq p, dann folgt  f \in L^r(S) und es gilt die Interpolationsungleichung

 \|f\|_r \leq \|f\|_p^{1-\theta}\|f\|_q^\theta

mit  \tfrac{1}{r} =: \tfrac{1-\theta}{p} + \tfrac{\theta}{q} beziehungsweise  \theta:= \tfrac{q}{r}\tfrac{p-r}{p-q} für  q \neq p.

Beweis: Ohne Einschränkung sei  q < r < p. Fixiere t \in (0, 1) mit  r = tp + (1-t)q. Beachte, dass \tfrac{1}{t} und  \tfrac{1}{1-t} konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt

\int_S|f|^r = \int_S|f|^{tp}|f|^{(1-t)q} 

\leq \left(\int_S|f|^p\right)^t\left(\int_S|f|^q\right)^{1-t}.

Potenzieren der Ungleichung mit \tfrac{1}{r} und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von Young[Bearbeiten]

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

\|f \star g\|_r \leq \|f\|_p\|g\|_q

für \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 + \tfrac{1}{r} und p, q, r \geq 1.

Literatur[Bearbeiten]