Hölder-Ungleichung

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In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung, benannt nach Otto Hölder, zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für L^p-Räume.

Inhaltsverzeichnis

1 Formulierung
- 1.1 Beweis
2 Spezialfälle
3 Verallgemeinerung
- 3.1 Beweis
4 Anwendungen
5 Literatur

[Bearbeiten] Formulierung

Sei $S$ ein Maßraum, $1 \leq p, q \leq \infty$ mit $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ , sei $f$ aus $L p (S)$ und $g$ aus $L q (S)$ . Dann ist $f g$ aus $L 1 (S)$ und

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q$ .

Man bezeichnet $q$ als den zu $p$ konjugierten Hölder-Exponenten.

[Bearbeiten] Beweis

Da die Aussage für $p=1, q=\infty$ (und umgekehrt) trivial ist, sei $1 < p,q < \infty$ . Ohne Einschränkung seien $\|f\|_p > 0$ und $\|g\|_q > 0$ . Nach der youngschen Ungleichung gilt

$AB \leq \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}$

für alle $A,B \geq 0$ . Setze hierin speziell $A := \frac{|f(x)|}{\|f\|_p}, B := \frac{|g(x)|}{\|g\|_q}$ ein. Integration liefert

$\frac{1}{\|f\|_p\|g\|_q}\int_S|fg| \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,$

welches die höldersche Ungleichung impliziert.

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[Bearbeiten] Spezialfälle

Sei $S$ die Menge $\{1,\ldots,n \}$ , ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q} ,$

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen $x_1, \ldots, x_n, y_1 , \ldots , y_n$ . Ist $S$ die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß, erhält man eine ähnliche Ungleichung für unendliche Reihen.

Für $p = q = 2$ erhält man als Spezialfall die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

Es seien $p_j \in [1, \infty], j = 1, \ldots, m$ sowie $\frac{1}{r} := \sum_{j=1}^m\frac{1}{p_j}$ und $f_j \in L_{p_j}(S)$ für alle $j =1,\ldots,m$ . Dann folgt $\prod_{j=1}^mf_j \in L_r(S)$ , und es gilt die Abschätzung

$\|\prod_{j=1}^mf_j\|_r \leq \prod_{j=1}^m\|f_j\|_{p_j}.$

[Bearbeiten] Beweis

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über $m$ geführt. $m = 1$ ist trivial. Sei also nun $m \geq 2$ und ohne Einschränkung $p_1 \leq \cdots \leq p_m$ . Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: $p_m = \infty.$ Dann ist $\frac{1}{r} = \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j}.$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

$\|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_m\|_\infty\|f_1\cdots f_{m-1}\|_r \leq \|f_m\|_\infty\|f_1\|_{p_1}\cdots\|f_{m-1}\|_{p_{m-1}}.$

Fall 2: $p_m < \infty$ . Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten $\frac{p_m}{p_m-r}, \frac{p_m}{r}$ gilt

$\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^r|f_m|^r \leq (\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^{\frac{rp_m}{p_m-r}})^{\frac{p_m-r}{p_m}}(\int_S|f_m|^{p_m})^{\frac{r}{p_m}},$

also $\|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_1\cdots f_{m-1}\|_{\frac{rp_m}{p_m-r}}\|f_m\|_{p_m}$ . Nun ist $\sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j} = \frac{1}{r} - \frac{1}{p_m} = \frac{p_m-r}{rp_m}$ . Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

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[Bearbeiten] Anwendungen

Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im $L p$ ) leicht beweisen.

Seien $f \in L_p(S) \cap L_q(S)$ und $1 \leq q \leq r \leq p$ . Dann folgt $f \in L_r(S)$ , und es gilt die Interpolationsungleichung

$\|f\|_r \leq \|f\|_p^{1-\theta}\|f\|_q^\theta$ mit $\frac{1}{r} =: \frac{1-\theta}{p} + \frac{\theta}{q}.$

Beweis: Ohne Einschränkung sei $q < r < p$ . Fixiere $\vartheta \in (0, 1)$ mit $r = \vartheta p + (1-\vartheta) q$ . Beachte, dass $\frac{1}{\vartheta}$ und $\frac{1}{1-\vartheta}$ konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt

$\int_S|f|^r = \int_S|f|^{\vartheta p}|f|^{(1-\vartheta)q} \leq (\int_S|f|^p)^\vartheta(\int_S|f|^q)^{1-\vartheta} .$

Potenzieren der Ungleichung mit $\frac{1}{r}$ und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

$\Box$

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

$\|f \star g\|_r \leq \|f\|_p\|g\|_q$ für $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{r}$ und $p, q, r \geq 1$ .

Es gilt die folgende umgekehrte höldersche Ungleichung

$\int_S|fg| \geq (\int_S|f|^{\frac{1}{r}})^r(\int_S|g|^{-\frac{1}{r-1}})^{-(r-1)}$ für alle

r > 1

,

falls $g(x) \neq 0$ für fast alle $x \in S$ gilt und $S$ keine Nullmenge ist.

Beweis: Wegen der (üblichen) hölderschen Ungleichung mit den Exponenten $r$ und $r' := \frac{r}{r-1}$ gilt

$\int_S|f|^{\frac{1}{r}} = \int_S(|fg|^{\frac{1}{r}}\cdot|g|^{-\frac{1}{r}}) \leq (\int_S|fg|)^{\frac{1}{r}}(\int_S|g|^{-\frac{r'}{r}})^{\frac{1}{r'}}.$

Umformen dieser Ungleichung liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.

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[Bearbeiten] Literatur

Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.

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[Bearbeiten] Literatur

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