Fixpunktsatz von Schauder

Der Fixpunktsatz von Schauder ist nach dem Mathematiker Juliusz Schauder benannt und gibt eine hinreichende Bedingung an, unter der eine Abbildung einen Fixpunkt besitzt. Er stellt eine starke Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer dar, der stetige Funktionen auf konvexen, kompakten Teilmengen endlichdimensionaler Vektorräume behandelt. Andrei Nikolajewitsch Tychonoff bewies den Fixpunktsatz von Schauder für lokalkonvexe Vektorräume. Daher wird diese Version des Satzes auch Fixpunktsatz von Tychonoff genannt.

Formulierungen des Satzes

Der schaudersche Fixpunktsatz existiert in mehreren Versionen.

Version für lokalkonvexe Hausdorffräume

Sei $E$ ein lokalkonvexer, hausdorffscher, topologischer Vektorraum und $C$ eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge von $E$. Dann besitzt jede stetige Abbildung $T:C\to C$ einen Fixpunkt. Da jeder Banachraum ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum ist, umfasst diese Version also schon alle Banachräume.

Version für alle Hausdorffräume

Sei $E$ ein hausdorffscher, topologischer Vektorraum und $C$ eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge von $E$. Dann besitzt jede stetige Abbildung $T:C\to C$ einen Fixpunkt.

Beispiele

Für unendlich-dimensionale lokalkonvexe beziehungsweise normierte Vektorräume braucht der schaudersche Fixpunktsatz nicht für abgeschlossen und beschränkt statt kompakte Mengen $C$ zu gelten. Sei $C$ die abgeschlossene Einheitskugel vom Folgenraum $\ell ^{2}$. Da $\ell ^{2}$ unendlich-dimensional ist, sind die abgeschlossenen Kugeln nicht mehr kompakt. Sei außerdem $F\colon C\to C$ durch
$x=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left({\sqrt {1-\|x\|_{\ell ^{2}}^{2}}},s_{1},s_{2},\ldots \right)$
definiert. Diese Abbildung ist stetig und bildet nach $C$ ab. Besäße sie einen Fixpunkt so müsste $s_{1}=s_{2}=\ldots$ gelten. Die einzige konstante Folge in $\ell ^{2}$ ist jedoch die konstante $0$-Folge. Jedoch gilt $F(0)\neq 0$ und somit hat $F$ keine Fixpunkte.
Fordert man jedoch, dass die Abbildung $T$ kompakt ist, so gilt der schaudersche Fixpunktsatz auch für abgeschlossene und beschränkte Teilmengen.

Anmerkungen

Schauder bewies den Fixpunktsatz im Jahr 1930 für normierte Räume. Für den Fall, dass $E$ ein lokalkonvexer Raum ist, wurde der Satz bereits 1935 durch Andrei Nikolajewitsch Tichonow bewiesen, während Schauder selbst nur einen fehlerhaften Beweis hatte. Robert Cauty konnte 2001 zeigen, dass der Satz sogar für alle hausdorffschen topologischen Vektorräume gilt. Dies wurde sogar schon von Schauder vermutet, konnte aber bis dato nicht bewiesen werden.

So wird in den bekannten Beweisen wesentlich der brouwersche Fixpunktsatz verwendet, dessen Beweis durchaus nichttrivial ist. Als Folgerung kann man den Existenzsatz von Peano aus dem schauderschen Fixpunktsatz ableiten.

Quellen

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
• Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1.
• Robert Cauty: Solution du problème de point fixe de Schauder. In: Fundamenta Mathematicae. 170 (2001), S. 231–246.

Weblinks

• Beweis der Fixpunktsätze von Brouwer und Schauder (letzteren im Fall von Banachräumen)