Flache Mannigfaltigkeit

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In der Mathematik sind flache Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung konstant Null.

Definition[Bearbeiten]

Eine flache Mannigfaltigkeit ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant 0. (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant 0 heißt flache Metrik. Eine flache Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen flachen Metrik.)

Andere Charakterisierungen[Bearbeiten]

Es gibt zwei weitere Möglichkeiten, den Begriff der flachen Mannigfaltigkeit zu definieren. So wird festgelegt,

Diese beiden Definitionen sind zueinander und zur Definition im Abschnitt darüber äquivalent. Die Äquivalenz zwischen der ursprünglichen Definition und der ersten Definition in diesem Abschnitt folgt aus dem Satz von Cartan; die Äquivalenz der beiden Definitionen aus diesem Abschnitt ergibt sich aus der Überlagerungstheorie.

Bieberbach-Gruppen[Bearbeiten]

Wenn M=\Gamma\backslash \mathbb E^n eine flache Mannigfaltigkeit ist, dann muss \Gamma\subset Isom(\mathbb E^n) torsionsfrei sein. Die Gruppe \Gamma ist dann isomorph zur Fundamentalgruppe von M.

Wenn M zusätzlich kompakt ist, dann ist \Gamma eine kristallographische Gruppe vom Rang n, eine sogenannte Raumgruppe. Weil \Gamma torsionsfrei sein muss, ist es dann eine Bieberbachgruppe.

Nach dem 1. Bieberbachschen Satz gibt es eine Untergruppe A\subset \Gamma von endlichem Index mit A\cong \mathbb Z^n. Der Quotient H:=\Gamma/A wird als Holonomiegruppe der flachen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten]

Aus dem Satz von Chern-Gauß-Bonnet folgt, dass die Euler-Charakteristik einer flachen Mannigfaltigkeit immer Null sein muss.

2-dimensionale Beispiele[Bearbeiten]

Jede 2-dimensionale kompakte flache Mannigfaltigkeit ist homöomorph zum Torus oder der Kleinschen Flasche.

3-dimensionale Beispiele[Bearbeiten]

Bis auf Homöomorphie gibt es zehn kompakte flache 3-Mannigfaltigkeiten, davon sechs orientierbare und vier nicht-orientierbare. Die sechs orientierbaren Beispiele haben die Holonomiegruppen H=1 (der 3-Torus), H=\mathbb Z/k\mathbb Z für k=2,3,4,6 und H=\mathbb Z/2\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z (die Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit).[1]

Verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten]

Eine n-dimensionale kompakte flache Mannigfaltigkeit heißt verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit, wenn die Holonomiegruppe H isomorph zu (\mathbb Z/2\mathbb Z)^{n-1} ist.

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolf, Joseph A.: Spaces of constant curvature. Sixth edition. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2011. ISBN 978-0-8218-5282-8

Quellen[Bearbeiten]

  1. Hantzsche-Wendt: "Dreidimensionale euklidische Raumformen"