Endlicher Körper

In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein endlicher Körper oder Galoiskörper eine Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen, auf der die Grundoperationen Addition und Multiplikation definiert sind und die alle Eigenschaften eines Körpers erfüllt. Zu Ehren von Évariste Galois, der bereits mit gewissen imaginären Zahlen modulo p gerechnet hat, prägte wohl Eliakim Hastings Moore 1893 den englischen Begriff Galois field.

Der Satz von Wedderburn sagt aus, dass die Multiplikation in einem endlichen Schiefkörper notwendig kommutativ ist. Das heißt, dass endliche Schiefkörper stets endliche Körper sind.

Für jede Primzahl $p$ und jede natürliche Zahl $n$ existiert (bis auf Isomorphie) genau ein Körper mit $p^n$ Elementen, der mit $\mathbb F_{p^n}$ oder $\operatorname{GF}(p^n)$ bezeichnet wird. $\mathbb F_p=\operatorname{GF}(p)$ ist der Körper der Restklassen ganzer Zahlen modulo $p$.

Endliche Körper spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und der Codierungstheorie (Vorwärtsfehlerkorrektur, zum Beispiel Reed-Solomon-Code). Daneben sind sie grundlegend für das Studium der Primideale im Ring der ganzen Zahlen einer endlichen Körpererweiterung von $\Q$ im Rahmen der algebraischen Zahlentheorie. Man vergleiche hierzu den Abschnitt über Dedekindringe in Verzweigung (Algebra).

Beispiel: Der Körper mit 2 Elementen

Die Restklassen modulo 2 bilden den Körper $\mathbb F_2 = \operatorname{GF}(2)$ mit zwei Elementen. $0$ repräsentiere die Restklasse $2 \Z$ der geraden Zahlen, $1$ die Restklasse $1 + 2 \Z$ der ungeraden Zahlen. Für die Addition gilt:

$0+0=0\qquad 0+1=1\qquad 1+0=1\qquad 1+1=0.$

Für die Multiplikation gilt:

$0\cdot 0= 0 \cdot 1 = 1 \cdot 0 = 0$ und $1\cdot 1=1.$

Klassifikation endlicher Körper

Ist $\mathbb K$ ein endlicher Körper, so ist der Kern des Ringhomomorphismus $f\colon \Z\rightarrow \mathbb K$ stets von der Form $p\cdot \Z$, d.h. er besteht aus allen Vielfachen einer gewissen Primzahl $p$ (man beachte: 1 ist keine Primzahl). Diese Primzahl heißt die Charakteristik von $\mathbb K$. Das Bild von $f$ ist isomorph zum Restklassenkörper $\Z/p\cdot\Z$ und heißt der Primkörper von $\mathbb K$. Als endlicher Erweiterungskörper ist $\mathbb K$ zugleich ein $n$-dimensionaler Vektorraum über seinem Primkörper. Somit hat $\mathbb K$ genau $q=p^n$ Elemente.

In Charakteristik $p>0$ ist $\mathcal F\colon \mathbb K \ni x \mapsto x^p\in\mathbb K$ ein Homomorphismus additiver Gruppen, denn

$(x+y)^p=x^p+y^p.$

Die übrigen nach der binomischen Formel auf der rechten Seite auftretenden Summanden fallen wegen $\tbinom pi \equiv 0 \pmod p$ für $1\le i<p$ fort. $\mathcal F$ trägt zu Ehren Ferdinand Georg Frobenius’ den Namen Frobeniushomomorphismus. Der Primkörper wird durch $\mathcal F$ punktweise fixiert (in der Tat ist z.B. $4^7 - 4$ ein Vielfaches von 7). Ebenso ist $\mathcal F^n = \mathrm{id}$ auf jedem Körper mit $q=p^n$ Elementen. Andererseits besitzt $x^{p^n}-x$ als Polynom vom Grad $p^n$ höchstens $p^n$ verschiedene Nullstellen. Diese sind alle durch die Elemente von $\mathbb K$ erfasst.

Hieraus lässt sich folgern:

• Es gibt bis auf Isomorphie genau einen Körper $\mathbb F_q$ mit $q=p^n$ Elementen. (Für jede Primzahl $p$ und jede natürliche Zahl $n.$)
• Dieser stellt eine Galois-Erweiterung seines Primkörpers dar.
• Die Galoisgruppe ist zyklisch von Ordnung $n$ und wird von $\mathcal F$ erzeugt.

Weitere Eigenschaften endlicher Körper:

• Alle Elemente außer 0 der additiven Gruppe eines endlichen Körpers der Charakteristik $p$ haben Ordnung $p.$
• Wie bei jeder endlichen separablen Körpererweiterung gibt es stets ein primitives Element, also ein $x\in\mathbb F_q$ derart, dass der Erweiterungskörper durch Adjunktion nur dieses einen Elements entsteht. Ist $f\in\mathbb F_p[X]$ das Minimalpolynom von $x$, so hat $f$ den Grad $n$ und $\mathbb F_q \cong \mathbb F_p[X]/(f)$. Ferner ist $\mathbb F_q$ stets bereits der Zerfällungskörper von $f$, d.h. $f$ zerfällt über $\mathbb F_q$ bereits vollständig in Linearfaktoren.
• Ist $m$ ein Teiler von $n$, so ist $\mathbb F_{p^m} \subset \mathbb F_{p^n}$ eine Galois-Erweiterung vom Grad $n/m$. Die zugehörige Galois-Gruppe ist ebenfalls zyklisch und wird von der $m$-ten Potenz $\mathcal F^m$ des Frobenius-Homomorphismus erzeugt.

Multiplikative Gruppe und diskreter Logarithmus

Die multiplikative Gruppe $\mathbb{F}_q^*$ des endlichen Körpers $\mathbb{F}_q$ besteht aus allen Elementen des Körpers mit Ausnahme der Null. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation des Körpers.

Die multiplikative Gruppe ist eine zyklische Gruppe mit $q - 1$ Elementen. Da deshalb für alle Elemente $x$ dieser Gruppe $x^{q-1} = 1$ gilt, ist jedes Element eine $(q-1)$-te Einheitswurzel des Körpers. Diejenigen Einheitswurzeln, die Erzeuger der multiplikativen Gruppe sind, werden als primitive Einheitswurzeln oder Primitivwurzeln bezeichnet. Es sind dies die $\varphi(q-1)$ verschiedenen Nullstellen des $(q-1)$-ten Kreisteilungspolynoms. ($\varphi$ bezeichnet die eulersche φ-Funktion.)

Ist $x$ eine Primitivwurzel der multiplikativen Gruppe $\mathbb{F}_q^*$, dann lässt sich die multiplikative Gruppe als Menge $\{ x^1, x^2, \ldots, x^{q-1} \}$ darstellen. Für jedes Element $a$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl $m \in \{ 1, 2, \ldots, q-1 \}$ mit $a = x^m$. Diese Zahl $m$ heißt diskreter Logarithmus von $a$ zur Basis $x$. Obwohl sich $x^m$ für jedes $m$ problemlos berechnen lässt, ist die Aufgabe, zu gegebenem $a$ den diskreten Logarithmus $m$ zu finden, nach gegenwärtigem Wissensstand für große Zahlen $q$ ein extrem rechenaufwändiger Vorgang. Deshalb findet der diskrete Logarithmus Anwendung in der Kryptographie, etwa beim Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch.

Weitere Beispiele

Der Körper mit 49 Elementen

Im Primkörper $\mathbb F_7 \cong \Z/7\Z$ ist –1 kein Quadrat. Dies folgt aus dem 1. Ergänzungssatz zum Quadratischen Reziprozitätsgesetz von Carl Friedrich Gauß oder – bei einer derart kleinen Primzahl – durch explizites Quadrieren aller sechs Elemente der multiplikativen Gruppe. So wie die komplexen Zahlen $\C$ aus den reellen Zahlen durch Adjunktion von $\mathrm i = \sqrt{-1}$ entstehen, lässt sich auch $\mathbb F_{49}$ aus $\mathbb F_7$ durch Adjunktion einer „Zahl“ $j = \sqrt{-1} = \sqrt{6}$ gewinnen; formal korrekt als $\mathbb F_{49} \cong \mathbb F_7[X]/(X^2+1).$ Gleichzeitig ist $\mathbb F_{49} \cong\Z[\,\mathrm i\,]/(7)$ auch ein Faktorring des Rings der ganzen Gaußschen Zahlen.

Der Körper mit 25 Elementen

In Charakteristik 5 ist -1 stets ein Quadrat: $2^2\equiv -1 \pmod 5$. Keine Quadrate modulo 5 sind jedoch die Zahlen 2 und 3. (In Charakteristik $p$ mit $p>2$ sind stets genau die Hälfte der Elemente der multiplikativen Gruppe $\mathbb F_q^*$ Quadrate bzw. Nichtquadrate.) Man kann also den Körper mit 25 Elementen als $\mathbb F_5[X]/(X^2-2)$, also durch Adjunktion von $\sqrt 2$ erhalten.

Zur historischen Entwicklung

Dass man mit Zahlen modulo einer Primzahl „wie mit rationalen Zahlen“ rechnen kann, hatte bereits Gauß gezeigt. Galois führte in die Rechnung modulo p imaginäre Zahlgrößen ein, ganz so wie die imaginäre Einheit $\mathrm i$ in den komplexen Zahlen. Damit hat er wohl als erster Körpererweiterungen von $\mathbb F_p$ betrachtet – wenn auch der abstrakte Körperbegriff erst 1895 durch Heinrich Weber eingeführt wurde und Frobenius diesen 1896 zuerst auf endliche Strukturen ausdehnte. Daneben bzw. zuvor hat offenbar Eliakim Hastings Moore 1893 bereits endliche Körper studiert und den Namen Galois field eingeführt.

Literatur

• Dieter Jungnickel: Finite fields: Structure and arithmetics. B.I. Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-16111-6
• Hans Kurzweil: Endliche Körper. Verstehen, Rechnen, Anwenden. Springer, ISBN 978-3-540-795971

Zur historischen Entwicklung:

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Bd.1 Springer, Berlin, 2008. ISBN 978-3-540-77189-0