Ganzes Element

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist Ganzheit eine leichte Abwandlung des Begriffes eines algebraischen Elementes, die aber wesentlich andere Eigenschaften bewirkt.

Definition

Es sei $A$ ein Ring und $B$ eine $A$-Algebra. Dann heißt ein Element $b\in B$ ganz über $A$, wenn es ein normiertes Polynom

$p=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\ldots +c_{1}X+c_{0}\in A[X]$

gibt, so dass

$p(b)=b^{n}+c_{n-1}b^{n-1}+\ldots +c_{1}b+c_{0}=0$

gilt.

$B$ heißt ganz über $A$, wenn jedes Element von $B$ ganz über $A$ ist. Ist insbesondere $A\subseteq B$, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.

Für eine beliebige $A$-Algebra $B$ heißt die Menge der über $A$ ganzen Elemente von $B$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$.

Eigenschaften

• Der ganze Abschluss von $A$ in $B$ ist eine $A$-Unteralgebra von $B$.

• Eine $A$-Algebra $B$ ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.

Beispiele

• Ist $A=\mathbb {Z}$ und $B=\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {5}}{\big )}$, so ist der ganze Abschluss von $A$ in $B$ gleich

$\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right].$

• Siehe Ganzheitsring