Gleichmäßige Stetigkeit

Gleichmäßige Stetigkeit ist ein Begriff aus der Analysis. Er bezeichnet einen Spezialfall der Stetigkeit.

Definition

Sei $D$ eine Teilmenge von $\mathbb {R}$, kurz $D\subseteq \mathbb {R}$.

Eine Abbildung $f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

$\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x,x_{0}\in D\colon |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$.

Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von $D$ gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.

Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass $\delta$ nur von $\varepsilon$ und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle $x_{0}$ abhängt.

Anschaulich bedeutet das: Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite $\varepsilon$ kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite $\delta$ finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten $\varepsilon ;\delta$ geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet. (Bsp.: Wurzelfunktion auf $(0,\infty )$).

Beispiele

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ mit $f(x)=x^{2}$:

Diese ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig: Je weiter rechts man zwei Punkte mit einem Abstand kleiner als $\delta$ wählt, desto größer wird der Abstand der beiden Funktionswerte. Dies entspricht nicht der Definition gleichmäßiger Stetigkeit: Der Abstand der Funktionswerte muss für jede Wahl zweier solcher Stellen kleiner als ein vorgegebenes $\varepsilon$ sein. Das ist bei dieser Funktion nicht der Fall.

Weiterhin gilt: Jede Einschränkung von $f$ auf ein kompaktes Intervall ist gleichmäßig stetig. Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Heine.

Ein anderes Beispiel ist die stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ mit $f(x)={\sqrt {x}}$

die gleichmäßig stetig, sogar hölderstetig, aber nicht lipschitzstetig ist.

Verallgemeinerung: metrische Räume

Allgemeiner wird auch folgende Definition verwendet:

Seien $(X,d_{X}),(Y,d_{Y})$ zwei metrische Räume. Eine Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

$\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x,x_{0}\in X\colon d_{X}(x,x_{0})<\delta \Rightarrow d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon$.

Verallgemeinerung: uniforme Räume

Noch allgemeiner heißt in der Topologie eine Funktion $f\colon X\to Y$ zwischen zwei uniformen Räumen $(X,{\mathcal {U}}_{X})$ und $(Y,{\mathcal {U}}_{Y})$ gleichmäßig stetig, wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist, wenn also $(f\times f)^{-1}({\mathcal {U}}_{Y})\subset {\mathcal {U}}_{X}.$

Eigenschaften

Unmittelbar aus der Definition ergibt sich, dass jede gleichmäßig stetige Funktion auch stetig ist. Umgekehrt gibt es jedoch stetige Funktionen, die nicht gleichmäßig stetig sind. Unter einer zusätzlichen Annahme fallen Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit wiederum zusammen. Der Satz von Heine besagt nämlich: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmäßig stetig.

Ist $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge im Raum $M$ und ist $f\colon M\to N$ gleichmäßig stetig, so ist auch $(f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $N$. Dies gilt im Allgemeinen nicht für Funktionen, die nur stetig sind, wie das Beispiel $M=(0,1],f(x)={\tfrac {1}{x}}$ und $x_{n}={\tfrac {1}{n}}$ zeigt.

Unmittelbar daraus, dass $f$ Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen abbildet, folgt nun: Ist $f$ gleichmäßig stetig auf einer Menge $M$, dann ist $f$ stetig fortsetzbar auf den Abschluss ${\overline {M}}$.

Im $\mathbb {R} ^{n}$ lässt sich anschaulich die Aussage treffen, dass eine gleichmäßig stetige Funktion (mit Werten in $\mathbb {R}$) keine Polstellen besitzen kann. Wie sollte sie auch, lässt sie sich doch - wie bereits dargestellt - stetig auf den Abschluss ihres Definitionsbereiches fortsetzen. Eine solche stetige Fortsetzung ist in einer Polstelle aber eben nicht möglich.

Spezielle Formen der gleichmäßigen Stetigkeit sind Hölder- und Lipschitz-Stetigkeit.

Siehe auch

• Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.
• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.
• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.