Gleichverteilung modulo 1

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Die Theorie der Gleichverteilung modulo 1 beschäftigt sich mit dem Verteilungsverhalten von Folgen reeller Zahlen. Eine Folge heißt gleichverteilt modulo 1, wenn die relative Anzahl an Folgengliedern in einem Intervall gegen die Länge dieses Intervalls konvergiert.

Definition[Bearbeiten]

Sei  x_1, x_2, \dots eine Folge reeller Zahlen. Zu Zahlen a,b mit 0 \leq a < b \leq 1 bezeichne A([a,b),N) die Anzahl jener Folgenglieder mit Index kleiner oder gleich N, deren Bruchteil im Intervall [a,b) liegt. In mathematischer Schreibweise:

 A([a,b),N) := \# \left\{ 1 \leq n \leq N:~\{x_n\} \in [a,b) \right\} .

Unter dem Bruchteil \{x\} einer Zahl x versteht man dabei die Zahl selbst minus die nächstkleinere ganze Zahl (Beispielsweise ist der Bruchteil \{1{,}4142\}=1{,}4142-1=0{,}4142, und der Bruchteil \{-0{,}7\} = -0{,}7 - (-1) = 0{,}3). Der Bruchteil einer Zahl liegt immer im Intervall [0,1).

Die Folge x_1, x_2, \dots heißt nun gleichverteilt modulo 1, wenn für jedes Intervall [a,b) \subset [0,1) die relative Anzahl der Folgenglieder in diesem Intervall gegen die Länge des Intervalls strebt. In mathematischer Schreibweise: x_1, x_2, \dots heißt gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn

 \lim_{N \to \infty} \frac{A([a,b),N)}{N} = b-a    für alle Zahlen a,b mit 0 \leq a < b \leq 1 gilt.

Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass die Folge  x_1, x_2, \dots im Intervall [0,1) gleichmäßig verteilt ist (daher auch die Bezeichnung "gleichverteilt modulo 1").

Eigenschaften[Bearbeiten]

Ein wichtiges Kriterium, um zu überprüfen, ob eine Folge x_1, x_2, \dots gleichverteilt modulo 1 ist oder nicht, ist das Weylsche Kriterium, erstmals bewiesen von Hermann Weyl im Jahr 1916. Eine Folge x_1, x_2, \dots ist gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn

\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 \pi i h x_n} = 0     für alle  h \in \mathbb{Z} \backslash \{0\} gilt.

Der Beweis basiert darauf, dass die in der Definition der Gleichverteilung modulo 1 auftretenden Indikatorfunktionen durch stetige Funktionen, und diese laut dem Approximationssatz von Weierstraß durch trigonometrische Polynome beliebig genau approximiert werden können.

Beispiele[Bearbeiten]

Folgende Folgen sind gleichverteilt modulo 1:

  •  (n^\sigma \log^\tau n)_{n \geq 1}    für 0 < \sigma < 1, ~\tau \in \mathbb{R}
  •  (p(n))_{n \geq 1}    wobei  p(x) ein nichtkonstantes Polynom bezeichnet, das mindestens einen irrationalen Koeffizienten besitzt.

Da die Folge (n \alpha)_{n \geq 1} für irrationales \alpha gleichverteilt modulo 1 ist, müssen in jedem Intervall [a,b) laut Definition asymptotisch etwa N (b-a) Elemente der Folge liegen. Insbesondere muss daher jedes Intervall unendlich viele Elemente der Folge enthalten: die Folge n \alpha ist daher dicht im Intervall [0,1). Das ist der sogenannte Approximationssatz von Kronecker, wodurch ein Zusammenhang zwischen Gleichverteilung modulo 1 und diophantischer Approximation (siehe Dirichletscher Approximationssatz) angedeutet wird.

Literatur[Bearbeiten]

  • Edmund Hlawka: Theorie der Gleichverteilung. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1979. ISBN 3-411-01565-9
  • Lauwerens Kuipers und Harald Niederreiter: Uniform distribution of sequences. Dover Publications, 2002. ISBN 0-486-45019-8