Harmonische Teilung

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Dieser Artikel behandelt den mathematischen Begriff der harmonischen Teilung. In der Harmonielehre wird darunter meist die Teilung eines Intervalls entsprechend dem harmonischen Mittel verstanden. In der bildenden Kunst war „harmonische Teilung“ früher die Bezeichnung für den goldenen Schnitt und wird teilweise noch heute in diesem Sinne verwendet.
Harmonische Teilung: Definition

Die harmonische Teilung bezeichnet in der Geometrie ein besonderes Lageverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden. So liegen vier Punkte A,B,S,T harmonisch, wenn die Strecke [AB] durch zwei Punkte S,T innen und außen (s. Bild) so geteilt wird, dass für die Teilstrecken die Beziehung

  • |AS|:|SB|=|AT|:|TB| erfüllt ist.

Die rechte Seite kann nie 1 werden. Also darf S nie der Mittelpunkt M von A,B sein.
Liegt S rechts von M so liegt T rechts von B.
Liegt S links von M so liegt T links von A.

Die obige Gleichung und die Voraussetzung, dass S die Strecke [A,B] innen und T aussen teilen, bedeutet, dass die beiden Teilverhältnisse (A,B;S) und (A,B;T) den gleichen Betrag haben und das Doppelverhältnis (A,B;S,T) gleich −1 ist.

Da die obige Gleichung sich auch so |AS|:|AT|=|SB|:|TB| schreiben lässt, teilen auch die Punkte A,B die Strecke [S,T] harmonisch. Die harmonische Teilung beschreibt also eine symmetrische Relation zwischen Punktepaaren auf einer Gerade.

Zeichnerische Bestimmung der Teilpunkte[Bearbeiten]

mit den Strahlensätzen[Bearbeiten]

Harmonische Teilung: Konstruktion mit Strahlensätze

Sind die Strecke [A,B] und der Teilpunkte S gegeben, so findet man den vierten harmonische Punkt T (genauer: der 4. Punkt, der mit diesen 3 Punkten zusammen eine harmonische Teilung ergibt) mit Hilfe der Strahlensätze gemäß der nebenstehenden Zeichnung:

  1. Der Punkt C wird beliebig gewählt, die Geraden AC und BD sind parallel.
  2. Der Punkt D ergibt sich durch die Verbindung von C mit dem gegebenen Teilpunkt S.
  3. D wird nach D' übertragen. Die Strecken |BD| und |BD'| sind gleich lang.
  4. Der Teilpunkt T ergibt sich durch den Schitt der Gerade CD' mit der Gerade AB.

Ist der Teilpunkt T gegeben, verfährt man analog in umgekehrter Reihenfolge.

Ist das Teilverhältnis \lambda vorgegeben, muss man den Punkt D so wählen, dass |AC|:|DB|=\lambda erfüllt ist. S ergibt sich dann als Schnittpunkt der Gerade CD mit AB.

mit Winkelhalbierenden eines Dreiecks[Bearbeiten]

Harmonische Teilung: Konstruktion mit Winkelhalbierende eines Dreiecks

Sind A,B,C die Punkte eines nicht gleichschenkligen Dreiecks, so schneiden die Innenwinkelhalbierende und Aussenwinkelhalbierende im Punkt C zwei Punkte S,T aus der Geraden AB aus, so dass die Punkte S,T die Strecke [A,B] harmonisch im Verhältnis b:a der an C anliegenden Dreiecksseiten teilen (s. Bild). Der Beweis benutzt den Satz über den Kreis des Apollonios [1]. (Man beachte, dass a\ne b sein muss, s. oben.)

Weitere zeichnerische Verfahren zur Bestimmungen des 4. harmonischen Punktes findet man hier.

Rechnerische Bestimmung der Teilpunkte[Bearbeiten]

Rechnerisch ergibt sich die Länge der Strecke [AT], wenn A,B und der Teilpunkt S gegeben sind, aus der Formel:

  • |AT|=\frac{|AS||AB|}{2|AS|-|AB|}, falls der Nenner > 0 ist (T liegt rechts von B).
|AT|=-\frac{|AS||AB|}{2|AS|-|AB|}, falls der Nenner < 0 ist (T liegt links von A).

Führt man auf der Gerade durch A,B Koordinaten x so ein, dass A=0, B=1, S=s, T=t ist, so ergibt sich die einheitliche Formel:

  • t=\frac{s}{2s-1}\ .

Beispiele harmonisch liegender Zahlen:

 
\text{1)} \ {\color{blue}0}, {\color{red}\tfrac{3}{4}}, {\color{blue}1}, {\color{red}\tfrac{3}{2}} \ , \quad 
\text{2)} \ {\color{blue}0}, {\color{red}\tfrac{2}{3}}, {\color{blue}1}, {\color{red}2} \ , \quad 
\text{3)} \ {\color{blue}0}, {\color{red}\tfrac{3}{5}}, {\color{blue}1}, {\color{red}3} \ ,  \quad 
\text{4)} \ {\color{red}-\tfrac{1}{2}}, {\color{blue}0}, {\color{red}\tfrac{1}{4}}, {\color{blue}1} \ ,
 
\text{5)} \ {\color{blue}0},{\color{red}\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}}, {\color{blue}1}, {\color{red}\tfrac{\sqrt{5}+3}{2}} \  \text{(goldener Schnitt)} \ .

Beziehung zum harmonischen Mittel zweier Zahlen[Bearbeiten]

Die letzte Gleichung lässt sich so umformen, dass:

  • \frac{1}{2}(\frac{1}{s}+\frac{1}{t}) =1\ .

D.h. das harmonische Mittel der beiden Koordinaten s,t ist gleich 1 .

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

  • Vier Punkte A,B,S,T einer affinen oder projektiven Gerade über einem Körper K der Charackteristik \ne 2 liegen harmonisch, falls das Doppelverhältnis (A,B;S,T)=-1 ist.

Die obigen Sprechweisen zwischen, innen, aussen, Längen, Abstände, die typisch für einen angeordneten Körper mit einer Metrik sind, sind bei dieser Definition nicht mehr nötig. Die harmonische Lage ist insbesondere also auch für die affine/projektive Gerade über den komplexen Zahlen oder einem endlichen Körper definiert.

Die obige Koordinatisierung ( A=0, B=1, S=s, T=t) ist im affinen Fall auch über einem beliebigen Körper möglich, so dass die Beziehung t=\tfrac{s}{2s-1}\ weiterhin gilt.

Schliesst man die affine Gerade projektiv durch das Symbol \infty ab und rechnet mit \infty in "üblicher" Weise, so gilt auch in diesem Fall die Formel zwischen s,t und die vier Punkte {\color{blue}0},{\color{red}\tfrac{1}{2}},{\color{blue}1},{\color{red}\infty} liegen harmonisch, d.h. ({\color{blue}0}, {\color{blue}1};{\color{red}\tfrac{1}{2}},{\color{red}\infty})=-1 .

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Geometrie

Literatur[Bearbeiten]