Isometrie (Riemannsche Geometrie)

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In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man Abbildungen als lokale Isometrien, wenn sie die Riemannsche Metrik erhalten. Als Isometrien bezeichnet man Diffeomorphismen, die lokale Isometrien sind.

Eine lokale Isometrie bildet Kurven auf Kurven gleicher Länge ab, sie muss aber nicht unbedingt Abstände erhalten. (Zum Beispiel ist eine Riemannsche Überlagerung eine lokale Isometrie.) Eine Isometrie erhält auch Abstände. Eine Isometrie im Sinne der Riemannschen Geometrie ist also immer auch eine Isometrie zwischen den metrischen Räumen. Umgekehrt ist nach einem Satz von Steenrod-Myers jede abstände-erhaltende Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten eine Isometrie im Sinne der Riemannschen Geometrie.

Definition[Bearbeiten]

Seien (M, g) und (M', g') zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Ein Diffeomorphismus f \colon M \to M' ist eine Isometrie, wenn

g = f^{*} g',

ist, wobei f^{*} g'(v, w) := g' \left( f_{*} v, f_{*} w \right) den Pullback des metrischen Tensors bezeichnet. Es soll also die Gleichung

g(v, w) = g' \left( f_{*} v, f_{*} w \right)

für alle Tangentialvektoren v,\, w in T_mM gelten.

Eine lokale Isometrie ist ein lokaler Diffeomorphismus mit g = f^{*} g'.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Isometrien des euklidischen Raumes sind Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen.

Satz von Steenrod-Myers[Bearbeiten]

Norman Steenrod und Sumner Byron Myers bewiesen 1939, dass jede abstände-erhaltende stetige Abbildung zwischen zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten eine Isometrie sein muß.[1] (Insbesondere ist eine solche Abbildung immer differenzierbar.) Ein einfacherer Beweis wurde 1957 von Richard Palais gegeben.[2]

Isometrie-Gruppe[Bearbeiten]

Die Isometrien eines metrischen Raumes bilden immer eine Gruppe. Steenrod und Myers bewiesen 1939, dass die Isometrie-Gruppe einer Riemannschen Mannigfaltigkeit immer eine Lie-Gruppe ist.

Beispiele:

Die Dimension der Isometriegruppe einer n-dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeit ist höchstens \frac{1}{2}n(n+1).

Quellen[Bearbeiten]

  1. Myers, S. B.; Steenrod, N. E. (1939), "The group of isometries of a Riemannian manifold", Ann. of Math. (2) 40: 400–416
  2. Palais, R. S. (1957), "On the differentiability of isometries", Proceedings of the American Mathematical Society 8: 805–807