Kongruenzuntergruppe

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In der Mathematik sind Kongruenzuntergruppen eine Klasse arithmetisch definierter diskreter Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe.

Definition[Bearbeiten]

Sei

G\subset GL(n,\C)

eine über \Q definierte algebraische Gruppe und N eine natürliche Zahl. Dann ist

\Gamma:=ker(p_N:G(\Z)\rightarrow GL(n,\Z/N\Z))

eine Kongruenzuntergruppe. (Hierbei bezeichnet p_N die Einschränkung der "Reduktion modulo N" auf G(\Z).)

Arithmetische Gruppen[Bearbeiten]

Kongruenzuntergruppen sind (nach Konstruktion) arithmetische Gruppen. Für n\ge 3 enthält jede arithmetische Gruppe \Gamma\subset SL(n,\C) eine Kongruenzuntergruppe.[1][2]

Literatur[Bearbeiten]

  1. M. S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (Hyderabad, 1989), 465–494, Manoj Prakashan, Madras, 1991.
  2. M.S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 114 (2004), no. 4, 299–308.