Kongruenzuntergruppe

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In der Mathematik sind Kongruenzuntergruppen eine Klasse arithmetisch definierter diskreter Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe.

Definition[Bearbeiten]

Sei

G\subset GL(n,\C)

eine über \Q definierte algebraische Gruppe und N eine natürliche Zahl. Dann ist

\Gamma:=ker(p_N:G(\Z)\rightarrow GL(n,\Z/N\Z))

eine Kongruenzuntergruppe. (Hierbei bezeichnet p_N die Einschränkung der "Reduktion modulo N" auf G(\Z).)

Arithmetische Gruppen[Bearbeiten]

Kongruenzuntergruppen sind (nach Konstruktion) arithmetische Gruppen. Für n\ge 3 enthält jede arithmetische Gruppe \Gamma\subset SL(n,\C) eine Kongruenzuntergruppe.[1][2]

Literatur[Bearbeiten]

  1. Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Sundararaman Ramanan (Hrsg.): Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (December 1989). Manoj Prakashan, Madras 1991, ISBN 81-231-0090-6, S. 465–494.
  2. Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. Mathematical Sciences. Bd. 114, Nr. 4, 2004, S. 299–308, doi:10.1007/BF02829437.