Algebraische Gruppe

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Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Definition[Bearbeiten]

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper, d.h. eine Varietät G über einem Körper k zusammen mit

  • einem Morphismus m\colon G\times G\to G (Multiplikation)
  • einem Morphismus i\colon G\to G (inverses Element)
  • und einem ausgezeichneten Punkt e\in G(k) (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Assoziativgesetz: m\circ(m\times\mathrm{id}_G)=m\circ(\mathrm{id}_G\times m);
  • neutrales Element: m\circ(\mathrm{id}_G\times e)=\mathrm{id}_G=m\circ(e\times\mathrm{id}_G);
  • inverses Element: m\circ(i\times\mathrm{id}_G)\circ\Delta_G=e\circ\xi=m\circ(\mathrm{id}_G\times i)\circ\Delta_G; dabei ist \Delta_G\colon G\to G\times G die Inklusion der Diagonale und \xi\colon G\to k der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass (m,i,e) für jedes k-Schema T auf der Menge G(T) der T-wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die additive Gruppe \mathbb G_{\mathrm a}: \mathbb G_{\mathrm a}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T) mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für T=k ist \mathbb G_{\mathrm a}=(k,+) die affine Gerade \mathrm{A}^1 mit der Addition.
  • Die multiplikative Gruppe \mathbb G_{\mathrm m}: \mathbb G_{\mathrm m}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T^\times) mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für T=k ist \mathbb G_{\mathrm a}=(k^\times,\times) die offene Teilmenge \mathrm{A}^1-\left\{0\right\} mit der Multiplikation.
  • Die allgemeine lineare Gruppe \mathrm{GL}_n: \mathrm{GL}_n(T)=\mathrm{GL}_n(\Gamma(T,\mathcal O_T)); dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren n\times n-Matrizen mit Einträgen im Ring \Gamma(T,\mathcal O_T). \mathrm{GL}_1 kann mit \mathbb G_{\mathrm m} identifiziert werden.
  • Der Kern eines Morphismus f:G\rightarrow H algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist \mathrm{SL}_n(T)=ker(det-1) eine algebraische Gruppe.
  • Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
  • Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von \mathrm{GL}_n werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
  • Unipotente algebraische Gruppen.

Satz von Chevalley[Bearbeiten]

Jede algebraische Gruppe über einem Körper der Charakteristik 0 ist (auf eindeutige Weise) eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe. [1] Das heißt zu jeder algebraischen Gruppe G gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe G_{aff}, diese ist normal und der Quotient A(G):=G/G_{aff} ist eine abelsche Varietät:

0\rightarrow G_{aff}\rightarrow G\rightarrow A(G)\rightarrow 0.

Die Abbildung G\rightarrow A(G) ist die Albanese-Abbildung.

Literatur[Bearbeiten]

  1. Conrad: Satz von Chevalley (PDF-Datei; 233 kB)