Kehrwert

Der Kehrwert (auch der reziproke Wert oder das Reziproke) einer von $0$ verschiedenen Zahl $x$ ist in der Arithmetik diejenige Zahl, die mit $x$ multipliziert die Zahl $1$ ergibt; er wird als $\tfrac{1}{x}$ oder $x^{-1}$ notiert.

Eigenschaften

Der Graph der Kehrwertfunktion ist eine Hyperbel.

Je dichter eine Zahl an null liegt, desto weiter ist ihr Kehrwert von null entfernt. Die Null selbst hat keinen Kehrwert. Die Kehrwertfunktion $y=f(x)=\tfrac1x$ (siehe Abbildung) hat dort eine Polstelle. Der Kehrwert einer negativen Zahl ist negativ; das ist der zweite Hyperbelast, der im dritten Quadranten liegende Teil des Graphen. Die Kehrwertfunktion ist eine Involution, d. h. der Kehrwert des Kehrwerts von $x$ ist wieder $x.$ Ist eine Größe $y$ umgekehrt proportional zu einer Größe $x,$ so ist sie proportional zum Kehrwert von $x.$

Den Kehrbruch eines Bruches, also den Kehrwert einer rationalen Zahl $\tfrac ab$ mit $a, b\neq 0,$ erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht: $\tfrac ba.$

Eine wichtige Anwendung der Kehrwertbildung ist die Regel zum Dividieren durch einen Bruch: Durch einen Bruch wird geteilt, indem man mit dem Kehrwert malnimmt. Siehe auch Bruchrechnung.

Den Kehrwert $\tfrac 1n$ einer natürlichen Zahl $n$ nennt man einen Stammbruch.

Auch zu jeder von $0$ verschiedenen komplexen Zahl $z = a + b \mathrm i$ mit reellen Zahlen $a, b$ gibt es einen Kehrwert $\tfrac{1}{z}.$ Mit dem Absolutbetrag $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ von $z$ und der zu $z$ konjugiert komplexen Zahl $\overline{z} = a - b \mathrm i$ gilt

$\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{z\overline{z}} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{a-b \mathrm i}{a^2 + b^2}.$

Beispiele

• Der Kehrwert von 0,001 ist 1000.
• Der Kehrwert von $2$ ist $\tfrac{1}{2}=0{,}5.$
• Der Kehrwert des Bruches $\tfrac{2}{5}$ ist $\tfrac{5}{2}=2\tfrac{1}{2}=2{,}5.$
• Der Kehrwert der komplexen Zahl $3 + 4 \mathrm i$ ist $\tfrac{1}{3+4\mathrm i} = \tfrac{3}{25} - \tfrac{4}{25}\mathrm i$.

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung des Kehrwerts ist das multiplikativ Inverse $x^{-1}$ zu einer Einheit $x$ eines unitären Ringes. Es ist ebenfalls durch die Eigenschaft $x^{-1}\cdot\ x=x\cdot\ x^{-1}=1$ definiert, wobei $1$ das Einselement des Ringes bezeichnet.

Wenn es sich z. B. um einen Ring von Matrizen handelt, so ist das Einselement nicht die Zahl $1,$ sondern die Einheitsmatrix. Matrizen, zu denen keine inverse Matrix existiert, heißen singulär.

Siehe auch

Reziproke Proportionalität

Literatur

Hintergrundwissen für Lehramtsstudenten zur Arithmetik:

•  Friedhelm Padberg: Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 3. erweiterte völlig überarbeitete Auflage, Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München 2009, ISBN 978-3-8274-0993-5.