Logarithmische Ableitung

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In der Analysis ist die logarithmische Ableitung \operatorname{L}(f) einer differenzierbaren Funktion f, die keine Nullstellen besitzt, als der Quotient der Funktion und deren Ableitung definiert; formal

\frac{f'}{f}.

Für reelle Funktionen f mit positiven Werten stimmt er nach der Kettenregel mit der Ableitung der Funktion \ln(f) überein; daher der Name. Es gilt also

\int \frac{f'}{f}=\ln f.

Für holomorphe oder meromorphe Funktionen kann die logarithmische Ableitung aber auch gebildet werden, obwohl der komplexe Logarithmus nicht auf ganz \mathbb C \setminus \{0\} definiert werden kann.

Rechenregeln[Bearbeiten]

Die Bedeutung des Begriffes liegt in der Formel für die logarithmische Ableitung eines Produktes:

\frac{(fg)'}{fg}=\frac{f'}f + \frac{g'}g,

allgemein

\frac{(f_1\cdots f_n)'}{f_1\cdots f_n}=\frac{f_1'}{f_1}+\ldots+\frac{f_n'}{f_n}.

Als Abwandlung zur Produktregel gilt also

(fg)'=fg\left(\frac{f'}f+\frac{g'}g\right)

Analog gilt

 \frac{(1/f)'}{1/f} = \frac{-f'/f^{2}}{1/f} = -\frac{f'}{f}

und

 \frac{(f/g)'}{f/g} = \frac{(f'g - fg')/g^{2}}{f/g} = \frac{f'}{f} - \frac{g'}{g}.

Für die logarithmische Ableitung der Potenzfunktion erhält man etwa

 \frac{(f^{n})'}{f^{n}} = \frac {nf^{n-1}f'}{f^{n}} = n\cdot\frac{f'}{f}

Diese Formeln folgen aus der Leibnizregel und gelten deshalb auch in allgemeinerem Kontext, beispielsweise bei der (formalen) Ableitung von Polynomen oder rationalen Funktionen über einem beliebigen Grundkörper.

Beispiele[Bearbeiten]

Die Logarithmische Ableitung von Funktionen kann meistens mit den normalen Differentiationsregeln bestimmt werden.

f \operatorname{L}(f) Anmerkungen
n 0 n\in \mathbb{R} \setminus \{0\}
x^n \frac{n}{x} n\in \mathbb{R}
e^{nx} n n\in \mathbb{R}
\ln(x) \frac{1}{x\ln(x)}
\sin(x) \cot(x)
\cos(x) -\tan(x)
\tan(x) \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}
\Gamma(z) \psi(z) Die logarithmische Ableitung der Gamma-Funktion ist die Digamma-Funktion.

Anwendung[Bearbeiten]

Lässt sich eine Funktion f darstellen als

f = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdot \dots

mit k und a,b,c,\dots als Konstanten, so ergibt sich die Ableitung zu

f' = f \cdot \left( a \cdot \frac{u'}{u} + b \cdot \frac{v'}{v} + c \cdot \frac{w'}{w} + \dots\right).

Dieser Umstand kann bei praktischen Anwendungen wie der Handrechnung genutzt werden, um manche Ableitungsregeln kompakt zusammenzufassen: So ergibt sich beispielsweise bei den Faktoren k=1, a=1, b=1 die Produktregel, mit den Faktoren k=1, a=1, b=-1 die Quotientenregel und mit k=1, a=-1 die Reziprokenregel.

Literatur[Bearbeiten]

  • Richard Phillips Feynman: Feynman’s Tips on Physics: A Problem-Solving Supplement to the Feynman Lectures on Physics. Verlag Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-9063-4, Kapitel 1–4.