Das Milstein-Verfahren der stochastischen Analysis bezeichnet eine Methode für die numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen (SDGL), benannt nach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein (Staatliche Gorki-Universität des Uralgebiets ).
Algorithmus
Betrachte die Itō -SDGL
d
X
t
=
a
(
X
t
)
d
t
+
b
(
X
t
)
d
W
t
,
{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t})\,\mathrm {d} t+b(X_{t})\,\mathrm {d} W_{t},}
mit Anfangsbedingung
X
0
=
x
0
{\displaystyle X_{0}=x_{0}}
, wobei
W
t
{\displaystyle W_{t}}
den Wiener-Prozess bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall
[
0
,
T
]
{\displaystyle [0,T]}
gefunden werden, so erhält man durch das Milstein-Verfahren eine Approximation
Y
{\displaystyle Y}
für die wahre Lösung
X
{\displaystyle X}
auf einem äquidistanten Gitter:
Zerlege das Intervall
[
0
,
T
]
{\displaystyle [0,T]}
in
N
{\displaystyle N}
gleich lange Teilintervalle der Länge
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
:
0
=
τ
0
<
τ
1
<
⋯
<
τ
N
=
T
{\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\dots <\tau _{N}=T}
und
δ
=
T
N
{\displaystyle \delta ={\tfrac {T}{N}}}
.
Setze
Y
0
:=
x
0
{\displaystyle Y_{0}:=x_{0}}
.
Definiere
Y
n
+
1
{\displaystyle Y_{n+1}}
für
0
≤
n
<
N
{\displaystyle 0\leq n<N}
durch
Y
n
+
1
:=
Y
n
+
a
(
Y
n
)
δ
+
b
(
Y
n
)
Δ
W
n
+
1
2
b
(
Y
n
)
b
′
(
Y
n
)
(
(
Δ
W
n
)
2
−
δ
)
,
{\displaystyle Y_{n+1}:=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}b(Y_{n})b'(Y_{n})\left((\Delta W_{n})^{2}-\delta \right),}
wobei
Δ
W
n
=
W
τ
n
+
1
−
W
τ
n
{\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}}
und
b
′
{\displaystyle b'}
die Ableitung von
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)}
bezüglich
x
{\displaystyle x}
ist. Beachte, dass die Zufallsvariablen
Δ
W
n
{\displaystyle \Delta W_{n}}
unabhängig normal verteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz
δ
{\displaystyle \delta }
.
Konvergenz
Mit den obigen Bezeichnungen gilt
E
[
|
Y
n
−
X
(
τ
n
)
|
]
=
o
(
δ
)
{\displaystyle E[|Y_{n}-X(\tau _{n})|]={\hbox{o}}(\delta )\;}
für
δ
→
0
{\displaystyle \delta \to 0}
und alle
n
=
0
,
.
.
.
,
N
{\displaystyle n=0,...,N}
, weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht.
o
{\displaystyle {\hbox{o}}}
ist dabei ein Landau-Symbol .
Siehe auch
Referenzen
Peter E. Kloeden, Eckhard Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations . Springer, Berlin, 1999, ISBN 3-540-54062-8 .