Modifizierte Z-Transformation

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Die Modifizierte Z-Transformation stellt eine Erweiterung der zeitdiskreten Z-Transformation dar um auch Signalwerte zwischen ganzzahligen Abtastzeitpunkten im Rahmen der zeitdiskreten Regelungstechnik verarbeiten zu können. Die dafür nötigen Modifikationen der Z-Transformation wurden in Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury im Jahr 1958 vorgestellt.[1] Primäre Anwendung liegt bei der Erkennung von Instabilitäten zufolge der zeitdiskreten Signalverarbeitung von Regelstrecken, beispielsweise im Bereich der Leistungselektronik für hochdynamische elektrische Antriebssysteme.

Definition[Bearbeiten]

Die modifizierte Z-Transformation weist für kausale Signale mit positiven und ganzzahligen k folgende Definition auf:

G(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f((k + m)T)z^{-k} \

mit T der Periodendauer und einem „Verzögerungsfaktor“ m, der einen Teil der Periodendauer darstellt und im Bereich [0, 1) liegt.

Anschaulich stellt die modifizierte Z-Transformation eine unilaterale Z-Transformation dar, die vor dem Abtastglied zur Gewinnung der diskreten Signalfolge ein zusätzliches Laufzeitglied mit der Verzögerung

e^{-(1-m)Ts}

aufweist. Bei zeitlich konstanten m gelten die Eigenschaften der Z-Transformation.

Korrespondenzen[Bearbeiten]

Einige der wichtigen Korrespondenzen der modifizierten Z-Transformation lauten:

Zeitbereich
f(t)
Spektralbereich
G(z,m)
σ(t) \frac{z}{z-1}
t \frac{mT}{z-1} + \frac{T}{(z-1)^2}
e^{-at} \frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }
1 - e^{-at} \frac{1}{z-1} + \frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }
\sin(\omega t) \frac{z \sin {(m \omega T)} + \sin {((1-m) \omega T)}}{z^2 - 2z \cos {\omega T} + 1 }

Für m = 0 gehen die Korrespondenzen in die Formen der Z-Transformation über. Die modifizierte Z-Transformation wird daher auch als erweiterte Z-Transformation bezeichnet.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Eliahu Ibrahim Jury: Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons, 1958.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Dierk Schröder: Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen. 3. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89612-8, Kapitel 6.