Newmark-beta-Verfahren

Newmark-beta-Verfahren sind Methoden zur impliziten numerischen Integration von Differentialgleichungen. Die Verfahren gehören zu den Einschrittverfahren, da zur Berechnung der Werte zur Zeit $t_{n+1}$ nur die Werte des vorangegangenen Zeitschritts zur Zeit $t_{n}$ benötigt werden. Dabei werden zwei Parameter $\gamma$ und $\beta$ eingeführt, mit denen die Stabilität und die Genauigkeit des Verfahrens gesteuert werden. Die Verfahrensklasse ist in der numerischen Analyse der Dynamik von Festkörpern wie in der Finite-Elemente-Methode weit verbreitet. Benannt ist sie nach Nathan M. Newmark, der sie 1959 für die Anwendung in der Strukturdynamik entwickelte.

Herleitung

Annahme linearer oder konstanter Beschleunigung

Im Zeitintervall $[t_{0,}t_{e}]$, in dem eine Lösung $x(t)$ einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit gesucht wird, sei eine streng monoton steigende Folge von Zeitpunkten $\{t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{e}\}$ vorgegeben, zu denen die Lösung $x(t)$ berechnet werden soll. Der Wert der Variable $x_{n}$, ihre Rate ${\dot {x}}_{n}$ und Beschleunigung ${\ddot {x}}_{n}$ seien zur Zeit $t_{n}$ bekannt. Die Beschleunigung wird im Intervall $t\in [t_{n},t_{n+1}]$ linear interpoliert, siehe Bild:

(I)     ${\ddot {x}}^{h}(t)={\frac {t_{n+1}-t}{t_{n+1}-t_{n}}}{\ddot {x}}_{n}+{\frac {t-t_{n}}{t_{n+1}-t_{n}}}{\ddot {x}}_{n+1}$

worin $x^{h}$ eine Näherungslösung der gesuchten Funktion $x$ bezeichnet. Integration über die Zeit liefert mit $\Delta t=t-t_{n}$:

(II)     ${\dot {x}}^{h}(t)={\dot {x}}_{n}+\int _{t_{n}}^{t}{\ddot {x}}^{h}(\tau )\mathrm {d} \tau ={\dot {x}}_{n}+\Delta t[(1-\gamma ){\ddot {x}}_{n}+\gamma {\ddot {x}}^{h}(t)]$

(III)     $x^{h}(t)=x_{n}+\int _{t_{n}}^{t}{\dot {x}}^{h}(\tau )\mathrm {d} \tau =x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n}+\Delta t^{2}[({\frac {1}{2}}-\beta ){\ddot {x}}_{n}+\beta {\ddot {x}}^{h}(t)]$

Mit

$\gamma ={\frac {1}{2}}$    und    $\beta ={\frac {1}{6}}$

sind diese Formeln exakt und liefern das lineare Beschleunigungsverfahren. Die von Newmark ursprünglich angegebenen Werte

$\gamma ={\frac {1}{2}}$    und    $\beta ={\frac {1}{4}}$

entsprechen dem #Konstante Durchschnittsbeschleunigungsverfahren mit

${\ddot {x}}^{h}(t)={\frac {1}{2}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})$.

Unter der Voraussetzung, dass die Extremwerte der Beschleunigung im Intervall $[t_{n},t_{n+1}]$ an den Grenzen des Intervalls auftreten, stellen die Integrale in Gleichungen (II) und (III) eine abgebrochene Taylorreihe mit Restglied dar, wobei mit $0<\gamma <1$ und $0<\beta <1$ andere Approximationen $x^{h}$ gefunden werden. So können auch andere Werte für die Konstanten $\gamma$ und $\beta$ motiviert werden.

Start der Berechnung

Der Newmark-Algorithmus startet zur Zeit $t=t_{0}$ mit $n=0$. Zumeist wird angenommen, dass für $t<t_{0}$ die Beschleunigungen verschwinden. Mit dieser Annahme ist der Algorithmus unter Vorgabe der Anfangswerte $x_{0}$ und Anfangsgeschwindigkeit ${\dot {x}}_{0}$ selbststartend, d.h. die Anfangsbeschleunigungen brauchen nicht in einem ersten Schritt berechnet zu werden.

Aktualisierung der Variablen

Mit dem Newmark-Algorithmus werden aus gegebenen Werten $x_{n},{\dot {x}}_{n}$ und ${\ddot {x}}_{n}$ zur Zeit $t_{n}$ die entsprechenden Werte zur Zeit $t_{n+1}$ berechnet. Die im Intervall $[t_{n},t_{n+1}]$ liegenden Werte können mit den Gleichungen (I) bis (III) interpoliert werden. Mit $t=t_{n+1}$ und ${\ddot {x}}^{h}(t_{n+1})={\ddot {x}}_{n+1}$ bekommt man aus Gleichungen (II) und (III):

(IV)     ${\dot {x}}^{h}(t_{n+1})={\dot {x}}_{n+1}={\dot {x}}_{n}+\Delta t[(1-\gamma ){\ddot {x}}_{n}+\gamma {\ddot {x}}_{n+1}]$,

(V)     $x^{h}(t_{n+1})=x_{n+1}=x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n}+\Delta t^{2}[({\frac {1}{2}}-\beta ){\ddot {x}}_{n}+\beta {\ddot {x}}_{n+1}]$.

Die beiden Gleichungen (IV) und (V) enthalten drei Unbekannte $x_{n+1},{\dot {x}}_{n+1}$ und ${\ddot {x}}_{n+1}$. Die dritte zum Abschluss benötigte Gleichung liefert die zu lösende Differentialgleichung.

Bei $\beta \neq 0$ kann auch $x_{n+1}$ als primäre Unbekannte gewählt werden:

${\ddot {x}}_{n+1}={\frac {1}{\beta \Delta t^{2}}}(x_{n+1}-x_{n})-{\frac {1}{\beta \Delta t}}{\dot {x}}_{n}-{\frac {{\frac {1}{2}}-\beta }{\beta }}{\ddot {x}}_{n}$

${\dot {x}}_{n+1}={\frac {\gamma }{\beta \Delta t}}(x_{n+1}-x_{n})+(1-{\frac {\gamma }{\beta }}){\dot {x}}_{n}+\Delta t{\frac {\beta -{\frac {1}{2}}\gamma }{\beta }}{\ddot {x}}_{n}$.

Sind einmal die Werte $x_{n+1},{\dot {x}}_{n+1}$ und ${\ddot {x}}_{n+1}$ berechnet, wird der Zähler $n$ inkrementiert und die Berechnung fortgesetzt bis das Ende des interessierenden Zeitintervalls erreicht ist.

Spezialfälle

Konstante Durchschnittsbeschleunigungsverfahren

Die ursprüngliche Form des Newmark-Verfahrens entspricht einer konstanten mittleren Beschleunigung

${\ddot {x}}^{h}(t)={\frac {1}{2}}({\ddot {x}}_{n+1}+{\ddot {x}}_{n})$

mit der man in den obigen Formeln (IV) und (V)

$\gamma ={\frac {1}{2}}$ und $\beta ={\frac {1}{4}}$

bekommt.

Gleichung	Folgerung
${\dot {x}}^{h}(t)={\dot {x}}_{n}+\int _{t_{n}}^{t}{\ddot {x}}^{h}(\tau )\mathrm {d} \tau ={\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t}{2}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})$	$\gamma ={\frac {1}{2}}$
$x_{n}+\int _{t_{n}}^{t}{\dot {x}}^{h}\mathrm {d} \tau =x_{n}+\int _{t_{n}}^{t}\left({\dot {x}}_{n}+{\frac {\tau -t_{n}}{2}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})\right)\mathrm {d} \tau =x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{4}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})$	$\beta ={\frac {1}{4}}$

Zentrale Differenzenquotienten

→ Hauptartikel: Differenzenquotient

Die zentralen Differenzenquotienten

(VI)    ${\dot {x}}_{n}={\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+1}-x_{n-1})$

(VII)     ${\ddot {x}}_{n}={\frac {1}{\Delta t^{2}}}(x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1})$

entsprechen den obigen Formeln (IV) und (V) mit

$\gamma ={\frac {1}{2}}$ und $\beta =0$.

Gleichung	Folgerung
${\begin{array}{lcl}{\ddot {x}}_{n}&=&{\frac {1}{\Delta t^{2}}}(x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1})\\[1ex]\rightarrow x_{n-1}&=&\Delta t^{2}{\ddot {x}}_{n}-x_{n+1}+2x_{n}\\[1ex]{\dot {x}}_{n}&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+1}-x_{n-1})\\[1ex]\rightarrow \Delta t{\dot {x}}_{n}&=&{\frac {1}{2}}(x_{n+1}-x_{n-1})=x_{n+1}-{\frac {\Delta t^{2}}{2}}{\ddot {x}}_{n}-x_{n}\\[1ex]\rightarrow x_{n+1}&=&x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}{\ddot {x}}_{n}\end{array}}$	$\beta =0$
${\begin{array}{lcl}{\frac {\Delta t}{2}}{\ddot {x}}_{n}&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1})\\[1ex]{\frac {\Delta t}{2}}{\ddot {x}}_{n+1}&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n})\\[2ex]{\dot {x}}_{n}&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+1}-x_{n-1})\\[1ex]{\dot {x}}_{n+1}&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+2}-x_{n})\\[1ex]\rightarrow {\frac {\Delta t}{2}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+2}-x_{n}-x_{n+1}+x_{n-1})={\dot {x}}_{n+1}-{\dot {x}}_{n}\\[1ex]\rightarrow {\dot {x}}_{n+1}&=&{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t}{2}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})\end{array}}$	$\gamma ={\frac {1}{2}}$

Explizite Zeitintegration

→ Hauptartikel: Explizites Euler-Verfahren

Das explizite Zeitintegrationsverfahren gehört nicht zur Familie der (impliziten!) Newmark-beta Algorithmen und wird hier nur zu Vergleichszwecken angegeben. Die obigen Formeln (VI) und (VII) für die zentralen Differenzen sind äquivalent zu

${\dot {x}}_{n+1/2}={\frac {1}{\Delta t}}(x_{n+1}-x_{n})$

${\ddot {x}}_{n}={\frac {1}{\Delta t}}({\dot {x}}_{n+1/2}-{\dot {x}}_{n-1/2})$.

Hier fällt auf, dass die Geschwindigkeiten immer in der Mitte der Zeitintervalle berechnet werden. Mit der Annahme

${\begin{array}{lcl}{\dot {x}}_{n+1}&\approx &{\dot {x}}_{n+1/2}={\dot {x}}_{n-1/2}+\Delta t{\ddot {x}}_{n}\\x_{n+1}&=&x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n+1/2}=x_{n}+\Delta t({\dot {x}}_{n-1/2}+\Delta t{\ddot {x}}_{n})\end{array}}$

können die Werte $x_{n+1}$ und die Geschwindigkeiten ${\dot {x}}_{n+1}$ zum Zeitpunkt $t_{n+1}$ auf bereits bekannte Ergebnisse $x_{n},{\dot {x}}_{n-1/2},{\ddot {x}}_{n}$ zurückgeführt werden und die Differentialgleichung liefert die Bestimmungsgleichung für die nunmehr einzige Unbekannte ${\ddot {x}}_{n+1}$.

Beispiel

Zeitintegration mit Algorithmen der Newmark Familie

Eine Schwingung gehorche in Abwesenheit einer Erregung der homogenen Differentialgleichung

${\ddot {x}}(t)+x(t)=0$.

Mit den Anfangsbedingungen

$x(t=0)=x_{0}=0$

${\dot {x}}(t=0)={\dot {x}}_{0}=1$

hat die Differentialgleichung die analytische Lösung

$x(t)=\sin(t)$

zu der die Anfangsbeschleunigung

${\ddot {x}}(t=0)=-\sin(0)=0$

gehört. Die Differentialgleichung liefert die Gleichung für die primäre Unbekannte ${\ddot {x}}_{n+1}$ :

${\ddot {x}}_{n+1}+x_{n+1}=0\rightarrow {\ddot {x}}_{n+1}=-x_{n+1}$

Die Zeitintegration mit dem Newmark-Verfahren ergibt die Gleichungen für die Werte $x_{n+1}$ und Raten ${\dot {x}}_{n+1}$ aus der Tabelle

Parameter	Aktualisierungsvorschrift
$\gamma ={\frac {1}{2}},\;\beta ={\frac {1}{6}}$	${\begin{array}{lcl}x_{n+1}&=&x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{6}}(2{\ddot {x}}_{n}-x_{n+1})\rightarrow x_{n+1}={\frac {6x_{n}+6\Delta t{\dot {x}}_{n}+2\Delta t^{2}{\ddot {x}}_{n}}{6+\Delta t^{2}}}\\[1ex]{\dot {x}}_{n+1}&=&{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t}{2}}({\ddot {x}}_{n}-x_{n+1})\end{array}}$
$\gamma ={\frac {1}{2}},\;\beta ={\frac {1}{4}}$	${\begin{array}{lcl}x_{n+1}&=&x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{4}}({\ddot {x}}_{n}-x_{n+1})\rightarrow x_{n+1}={\frac {4x_{n}+4\Delta t{\dot {x}}_{n}+\Delta t^{2}{\ddot {x}}_{n}}{4+\Delta t^{2}}}\\[1ex]{\dot {x}}_{n+1}&=&{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t}{2}}({\ddot {x}}_{n}-x_{n+1})\end{array}}$
$\gamma ={\frac {1}{2}},\;\beta =0$	${\begin{array}{lcl}x_{n+1}&=&x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}{\ddot {x}}_{n}\\[1ex]{\dot {x}}_{n+1}&=&{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t}{2}}({\ddot {x}}_{n}-x_{n+1})\end{array}}$
explizit	${\begin{array}{lcl}{\dot {x}}_{n+1}&=&{\dot {x}}_{n+1/2}={\dot {x}}_{n-1/2}+\Delta t{\ddot {x}}_{n}\\[1ex]x_{n+1}&=&x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n-1/2}+\Delta t^{2}{\ddot {x}}_{n}\end{array}}$

Die Lösungen im Intervall $t\in [0,10\pi ]$ und $\Delta t=0,2$ haben den Verlauf im Bild. Die mittlere Abweichung

$e={\sqrt {\frac {\sum _{n=1}^{159}{(x_{n}-\sin(t_{n}))}^{2}}{159}}}$

gibt die Tabelle:

Verfahren	Mittlere Abweichung $e$
Lineares Beschleunigungsverfahren	0.021778594324355638
Zentrales Differenzenverfahren	0.022202937295615111
Konstante mittlere Beschleunigung	0.043283257071468406
Explizites Verfahren	0.022202937295615576

Literatur

• Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich: Strukturdynamik, Springer Verlag 2012, ISBN 978-3-540-88977-9
• T. Belytschko, T.J.R. Hughes (Hrsg.): Computational methods for transient analysis. North-Holland 1986. ISBN 9780444864796