Taylorreihe

Approximation von ln(x) durch Taylorpolynome der Grade 1, 2, 3 bzw. 10 um den Entwicklungspunkt 1. Die Polynome konvergieren nur im Intervall (0, 2]. Der Konvergenzradius ist also 1.

In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch Taylor-Entwicklungen, nach dem Mathematiker Brook Taylor), um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen (Reihenentwicklung). So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylorreihe (oftmals gut) angenähert werden, z. B. in der Physik oder bei der Ausgleichung geodätischer Netze: So ist die oft verwendete Kleinwinkelnäherung des Sinus eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe dieser Funktion.

Eng verwandt mit der Taylorreihe sind die Taylor-Polynome, die im Artikel Taylor-Formel beschrieben sind.

Definition

Sei $I \subset \R$ ein offenes Intervall, $f\colon I\rightarrow\R$ eine unendlich oft differenzierbare Funktion und $a$ ein Element von $I$. Dann heißt die unendliche Reihe

$\begin{align} P_f(x) & = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \dotsb\\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \end{align}$

die Taylor-Reihe von $f$ mit Entwicklungsstelle $a$.

Hierbei bezeichnet

• $n!$ die Fakultät $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ und
• $f^{(n)}(a)$ die $n$-te Ableitung von $f$ an der Stelle $a$, wobei man $f^{(0)} := f$ setzt.

Die Reihe ist hier zunächst nur „formal“ zu verstehen, das heißt, es wird weder vorausgesetzt noch behauptet, dass sie konvergiert.

Im Spezialfall $a = 0$ wird die Taylor-Reihe manchmal auch Maclaurin-Reihe genannt.

Den Ausdruck

$T_1(x) := f(a)+f'(a) \cdot (x-a)$

(also die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe) nennt man auch Linearisierung von $f$ an der Stelle $a$. Allgemeiner nennt man die Partialsumme

$T_n(x):= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n,$

die für festes $a$ ein Polynom in der Variablen $x$ darstellt, das $n$-te Taylorpolynom.

Die Taylorformel mit Restglied macht Aussagen darüber, wie dieses Polynom von der Funktion f abweicht. Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformeln sind Taylorpolynome ein häufig angewandtes Hilfsmittel der Analysis, der Numerik, der Physik und der Ingenieurwissenschaften.

Eigenschaften

Die Taylorreihe $P_f(x)$ zur Funktion $f(x)$ ist eine Potenzreihe $P$ in $x$. Im Fall einer analytischen Funktion $f$ hat die Taylor-Reihe in jedem Punkt $a$ einen positiven Konvergenzradius $r$ und stimmt in ihrem Konvergenzbereich mit $f$ überein, d. h. es gibt ein $r>0$, sodass für $|x-a|<r$ gilt

$P_f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n = f(x).$

Außerdem stimmen die Ableitungen der Reihe im Entwicklungspunkt a mit den tatsächlichen Ableitungswerten überein:

$P_f^{(k)}(a) = f^{(k)}(a).$

Konstruktion

Damit die Ableitungen der Reihe im Entwicklungspunkt a mit den tatsächlichen Ableitungswerten übereinstimmen, sind die Koeffizienten $a_n$ der Taylorreihe wie folgt konstruiert:

$a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$

$\Rightarrow P_f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n.$

Zum Beispiel ist die erste Ableitung nach x (man beachte, dass die $f'(a)$, $f''(a)$, etc. hier konstante Werte sind):

$\begin{align} P_f'(x) & = 0 + \frac{f'(a)}{1!} + \frac{f''(a)}{2!} 2(x-a) + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} n (x-a)^{(n-1)} + \dotsb\\ & = 0 + f'(a) + f''(a) \cdot (x-a) + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!} (x-a)^{(n-1)} + \dotsb. \end{align}$

An der Stelle a:

$\begin{align} P_f'(a) & = 0+ f'(a) + f''(a)\cdot(a-a) + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!} (a-a)^{(n-1)} + \dotsb\\ & = 0+ f'(a) + 0 + \dotsb + 0 + \dotsb. \end{align}$

Allgemeine Herleitung:

$\begin{align} P_f(x) & = \sum_{n=0}^{k-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + \sum_{n=k+1}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n\\ P^{(k)}_f(x) & = \underbrace{{\left( \sum_{n=0}^{k-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \right)}^{(k)}}_{=0 \text{ wegen }n<k } + {\left( \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k \right)}^{(k)} + {\left( \sum_{n=k+1}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \right)}^{(k)}\\ &= 0 + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}k! + \sum_{n=k+1}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{(n-k)!}\underbrace{(x-a)^{n-k}}_{\text{wird } 0 \text{ bei } x=a}\\ \Rightarrow P^{(k)}_f(a) & = f^{(k)}(a), q.e.d. \end{align}$

Beispiele und häufig verwendete Näherungen

Exponentialfunktionen und Logarithmen

Die natürliche Exponentialfunktion wird auf ganz $\R$ durch ihre Taylorreihe dargestellt:

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ für alle reellen $x$.

Beim natürlichen Logarithmus hat die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 1 den Konvergenzradius 1, d. h. für $0 < x \le 2$ wird die Logarithmusfunktion durch ihre Taylorreihe dargestellt (vgl. Abb. oben):

$\ln(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \,\, (x-1)^n = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots \quad \text{für} \ 0 < x \le 2$

(Man beachte, dass die Summe hier ausnahmsweise erst bei $n = 1$ beginnt, weil $\ln(1)=0$ ist)

Durch Substitution $t=x-1$ lässt sich diese Formel auch so schreiben:

$\ln(1+t) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \,\, \frac{t^n}{n} = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots \quad \text{für} \ -1 < t \le 1$

Näherung: $\ln(1+t) \approx t \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{für} \ \left| t \right| \ll 1$

Diese Formel ist jedoch für praktische Rechnungen ungeeignet. Schneller konvergiert diese Reihe:

$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{für} \ -1 < x < 1.$

Wählt man $x := \frac{y-1}{y+1}$ für ein $y>0$, dann erhält man damit $\ln(y).$

Trigonometrische Funktionen

Approximation von sin(x) durch Taylorpolynome Pn vom Grad 1, 3, 5 und 7

Animation: Die Cosinusfunktion um den Punkt 0 entwickelt, in sukzessiver Näherung

Für die Entwicklungsstelle $a = 0$ (Maclaurin-Reihen) gilt:

$\begin{align} \sin(x) & = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots & \text{für alle} \ x\\ \sin(x) & \approx x & \text{für} \ \left| x \right| \ll \frac{\pi}{2}\\ \cos(x) & = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots & \text{für alle} \ x\\ \cos(x) & \approx 1 - \frac{x^2}{2} & \text{für} \ \left| x \right| \ll \frac{\pi}{2} \end{align}$

$\tan(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots \quad \mathrm{ f\ddot ur }\ \left| x \right| < \frac{\pi}{2},$

dabei ist $B_{2n}$ die $2n$-te Bernoulli-Zahl.

$\tan(x) \approx x \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{für} \ \left| x \right| \ll \frac{\pi}{2}$

$\sec(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{für} \ \left| x \right| < \frac{\pi}{2} ,$

dabei ist $E_{2n}$ die $2n$-te Eulersche Zahl.

$\begin{align} \arcsin x & = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \quad & \text{für} \ \left| x \right| < 1\\ \arccos x & = \frac{\pi}{2} - \arcsin x & \text{für} \ \left| x \right| \le 1\\ \arctan x & = \sum^{\infin}_{n=0} (-1)^n \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} & \text{für} \ \left| x \right| \le 1 \end{align}$

Eine weitere Näherung: $(1+x)^n \approx 1+nx \qquad \qquad \text{für} \ \left| nx \right| \ll 1$

Taylorreihen nichtanalytischer Funktionen

Dass die Taylor-Reihe in jedem Punkt $a$ einen positiven Konvergenzradius hat und in ihrem Konvergenzbereich mit $f$ übereinstimmt, gilt nicht für beliebige unendlich oft differenzierbare Funktionen. Aber auch in den folgenden Fällen nichtanalytischer Funktionen wird die zugehörige Potenzreihe als Taylorreihe bezeichnet.

Konvergenzradius 0

Die Funktion

$f(x) = \int_0^\infty \frac{\mathrm e^{-t}}{1+x^2t} \mathrm dt$

ist auf ganz $\R$ beliebig oft differenzierbar, aber ihre Taylorreihe in $a = 0$ ist

$P_f(x) = 1 - x^2 + 2! \, x^4 - 3! \, x^6 + 4! \, x^8 -+ \dots$

und somit nur für $x = 0$ konvergent (nämlich gegen bzw. gleich 1).

Eine Funktion, die in einem Punkt nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden kann

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um den Entwicklungspunkt $a = 0$ mit der Ausgangsfunktion überein:

$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{falls } x \le 0\\ \mathrm{e}^{-1/x^2} & \text{falls } x > 0. \end{cases}$

Als reelle Funktion ist $f$ beliebig oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt $x \leq 0$ (insbesondere für $x = 0$) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit $f$ überein. Daher ist $f$ nicht analytisch. Die Taylorreihe um einen Punkt $a > 0$ konvergiert zwischen 0 und $2a$ gegen $f$. Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für $x > 0$ korrekt wiedergibt, für $x < 0$ nicht konstant 0 ergibt.

Taylorreihe in mehreren Variablen

Die Taylorreihe kann auch in allgemeiner Form für Funktionen in mehreren Variablen geschrieben werden:

$T(x_1,\dots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots\frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} {f(a_1,\dots,a_d)} \,$

wobei die partiellen Ableitungen nach dem ersten (zweiten, ...) Funktionsargument an der Stelle $(a_1,a_2, \dots, a_n )$ zu nehmen sind. Zum Beispiel ist die Taylorreihe einer Funktion, die von den beiden Variablen x und y abhängt, in der Umgebung von (a, b):

$f(x,y) \,$

$\approx f(a,b) +(x-a)\, f_x(a,b) + (y-b)f_y(a,b) \,$

$+ \frac{1}{2!}\left[ (x-a)^2\, f_{xx}(a,b) + 2(x-a)\,f_{xy}(a,b)\,(y-b) + (y-b)^2\, f_{yy}(a,b) \right] + \dots$

Die Taylorreihe einer skalarwertigen Funktion in mehr als einer Variable kann bis zur zweiten Ordnung kompakter geschrieben werden als:

$T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x}-\mathbf a)^T\,\nabla f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \operatorname{H}_f(\mathbf a) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \dots$

Dabei ist $\nabla f(\mathbf{a})$ der Gradient und $\operatorname{H}_f(\mathbf a)$ die Hesse-Matrix von $f$ an der Stelle $\mathbf a$.

In der Multiindex-Notation wird die Taylorreihe in mehreren Variablen zu:

$T(\mathbf{x}) = \sum_{|\boldsymbol \alpha| \ge 0}^{}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\boldsymbol\alpha}}{\boldsymbol\alpha !}\mathbf D^{\boldsymbol{\alpha}}f(\mathbf{a})$

in voller Entsprechung zum eindimensionalen Fall.

Siehe auch

• Linearisierung mittels Näherungswerten
• Ausgleichsrechnung

Weblinks

• Visualisierung der Taylorreihen-Entwicklung - Der Grad der Näherung und der Ableitpunkt kann dabei selbst bestimmt werden. Die Stammfunktion ist eine Sinuskurve.
• Taylor Series auf MathWorld (englisch)
• Real and Complex Taylor Series auf PlanetMath (englisch)
•  Wikibooks: Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null – Lern- und Lehrmaterialien