Potenz-assoziative Algebra

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Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra, in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.

Definition[Bearbeiten]

Für eine Algebra \mathcal{A} und jedes a \in \mathcal{A} definiere man

a^1 := a sowie a^{k+1} := a \cdot (a^k) für jedes k \in \mathbb{N}.

Die Algebra \mathcal{A} heißt potenz-assoziativ, wenn für alle a\in \mathcal{A} und alle natürlichen Zahlen r,s \in \N (Null wird hier nicht als natürliche Zahl angesehen)

a^{r+s} = (a^r)\cdot (a^s)

gilt.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.
  • Alle K-Algebren \mathcal{A}, in denen es zu jedem a \in \mathcal{A} ein c_a \in K gibt mit a \cdot a = c_a\cdot a, sind potenz-assoziativ.
    • Hierzu gehört beispielsweise \mathbb{R}^3, ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da a \times a = 0 für alle a \in \mathbb{R}^3.
  • Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.

Literatur[Bearbeiten]