Sedenion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
𝕊

Die Sedenionen (Symbol \mathbb S) sind 16-dimensionale hyperkomplexe Zahlen. Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Oktonionen.

Die Multiplikation der Sedenionen ist weder kommutativ noch assoziativ und ist auch nicht alternativ. Sie ist nur noch potenz-assoziativ und flexibel. Weiterhin erfüllen die Sedenionen die Jordan-Identität und bilden daher eine nichtkommutative Jordan-Algebra. Sedenionen besitzen Nullteiler.

Jedes Sedenion ist eine reelle Linearkombination der Einheiten e_{i (i = 0, \ldots , 15)}, wobei e_0 = 1 ist:

s=\sum_{i=0}^{15} x_i e_i = x_0+x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4+x_5e_5+x_6e_6+x_7e_7+x_8e_8+x_9e_9+x_{10} e_{10}+x_{11} e_{11} +x_{12} e_{12}+x_{13} e_{13} + x_{14} e_{14} + x_{15} e_{15}

Multiplikation[Bearbeiten]

Eine mögliche Multiplikationstafel der Einheiten ist:

× 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e1 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e9 -e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14
e2 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 -e5 e10 e11 -e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13
e3 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e11 -e10 e9 -e8 -e15 e14 -e13 e12
e4 e4 -e5 -e6 -e7 -1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 -e8 -e9 -e10 -e11
e5 e5 e4 -e7 e6 -e1 -1 -e3 e2 e13 -e12 e15 -e14 e9 -e8 e11 -e10
e6 e6 e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -e1 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 -e8 e9
e7 e7 -e6 e5 e4 -e3 -e2 e1 -1 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 -e8
e8 e8 -e9 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 -1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e9 e9 e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14 -e1 -1 -e3 e2 -e5 e4 e7 -e6
e10 e10 e11 e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13 -e2 e3 -1 -e1 -e6 -e7 e4 e5
e11 e11 -e10 e9 e8 -e15 e14 -e13 e12 -e3 -e2 e1 -1 -e7 e6 -e5 e4
e12 e12 e13 e14 e15 e8 -e9 -e10 -e11 -e4 e5 e6 e7 -1 -e1 -e2 -e3
e13 e13 -e12 e15 -e14 e9 e8 e11 -e10 -e5 -e4 e7 -e6 e1 -1 e3 -e2
e14 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 e8 e9 -e6 -e7 -e4 e5 e2 -e3 -1 e1
e15 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 e8 -e7 e6 -e5 -e4 e3 e2 -e1 -1

Dabei ist die linke Spalte als erster bzw. linker Faktor zu lesen, die obere Zeile als zweiter bzw. rechter Faktor: e_1 \times e_2 = e_3, aber e_2 \times e_1 = -e_3
Siehe auch Antikommutativität.

Es gilt

\prod_{i=1}^{15} e_i = e_1 e_2 e_3 \cdots e_{15} =-1.

Nullteiler[Bearbeiten]

Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass die Sedenionen Nullteiler besitzen:

(e_3 + e_{10}) \times (e_6 - e_{15}) = e_3e_6 + e_{10}e_6 - e_3e_{15} - e_{10}e_{15} = e_5 + e_{12} - e_{12}  - e_5 = 0

Der Raum der Nullteiler mit Norm 1 ist homöomorph zur kompakten Form der exzeptionellen Lie-Gruppe G2 [1].

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. R. Guillermo Moreno (1997), The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers, arXiv:q-alg/9710013