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Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Man notiert die Potenzmenge einer Menge meist als . Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.
Die Potenzmenge einer Menge ist eine neue Menge, die aus allen Teilmengen von besteht. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. In Formelschreibweise lautet die Definition einer Potenzmenge
.
Dabei ist zu beachten, dass sowohl die leere Menge als auch die Menge selbst Teilmengen von sind. Andere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind und .
Die Halbordnung ist ein vollständigerVerband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von ein Infimum und ein Supremum (in ) gibt. Konkret ist für eine Menge das Infimum von gleich dem Durchschnitt der Elemente von , und das Supremum von ist gleich der Vereinigung der Elemente von , also
Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also
Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und ist neutral für die Multiplikation.
Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen und (wobei die Notation für die Menge aller Funktionen von nach benutzt wird). Dies motiviert für auch die Schreibweise , denn in von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist (allgemein: ).
Die Korrespondenz ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.
Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Analog zu endlichen Mengen schreibt man auch für die Mächtigkeit der Potenzmenge einer unendlichen Menge . Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt für unendliche Mengen , dass die nach nächstgrößere Mächtigkeit ist:
Beschränkung auf kleinere Teilmengen
Mit wird die Menge derjenigen Teilmengen von bezeichnet, die weniger als Elemente enthalten. Beispielsweise ist : Die Menge selbst fehlt, da sie nicht weniger als Elemente hat.
Ein Mengensystem wie beispielsweise eine Topologie oder eine σ-Algebra über einer Grundmenge ist eine Teilmenge der Potenzmenge , also ein Element von .
Literatur
Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.